Suseciones Y Progreciones

SUCESIONES Y PROGRESIONES
Sucesión: Es el conjunto formado por las imágenes de una función definida del conjunto de los Números Naturales (N) en el conjunto de los Números Reales (R) ordenadas de una forma tal que no exista duda de cuál es la primera, cuál la segunda o cualquier otra.
Ejemplo:
3,4,5,6,7,…….. es una sucesión, ya que es el conjunto de imágenes de la función
f : N→R, con laexpresión algebraica f ( x) = x + 2
Para denotar una sucesión se usa la expresión an, Así: an=a1,a2,…..,an,.., donde, a1 es el primer término de la sucesión y es la imagen del primer elemento, a2 es el segundo término de la sucesión y es la imagen del segundo elemento,…., an es el enésimo término de la sucesión y es la imagen del n-ésimo elemento. Al término an se llama término general de lasucesión, a él se asocia una fórmula escrita en función de n mediante la cual se puede hallar cada uno de los términos de la sucesión.
Ejercicios resueltos
1.-Escribir los tres primeros términos de cada secesión:
a) an= 3n – 2 b) an=n-12
Solución:
Para hallar los cuatro primeros términos de la sucesión se reemplaza n por 1, 2 y 3 en la fórmula deltérmino general, luego,
a)a1=31-2=3-2=1; 22=32-2=6-2=4; a3=33-2=9-2=7
b)a1=1-12=02=0; a2=2-12=12; a3=3-12=22=1
2.-Encontrar el término a7 en cada sucesión: a) an=13n b) an=n2-14
Solución:
a) a7=13(7)=121; b) a7=72-14=49-14=35
3.-Determinar la fórmula del término general de cada sucesión:
a) an=4,8,12,16,…….. b)an=0,12,1,32, 2, 52, 3,……
Solución:
a) Cada término de lasucesión se obtiene al multiplicar cada número natural por 4, luego, an=4n
b) Cuando los términos de la sucesión están expresados como fracciones es conveniente escribirlos con un denominador común. Entonces,
02,12,22,32,42, 52, 62,……, luego, an=n-12
Sumatoria:
La notación de sumatoria se utiliza para representar la suma de términos de una sucesión, la letra griega sigma (∑) se utilizapara designar las sumatorias.
i=1nai se lee “sumatoria desde uno hasta de n de an, y se cumple:
i=1nai=a1+a2+…+an
Ejercicios resueltos:
Calcular el valor de cada sumatoria. a) n=142n b) n=352n-3
Solución:
a) n=142n=21+22+23+24=2+4+6+8=20
b) n=352n-3=23-3+24-3+25-3=6-3+8-3+10-3=15
Propiedades de la sumatoria:
1.-n=1man+bn=n=1man+n=1man 2.- n=1man-bn=n=1man-n=1mbn3.-n=1mKan=Kn=1man 4.-n=1mK=m⋅K . Donde K es una constante.
Nota:
En general para las sumatorias de un producto, se tiene que:
1.-La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias:
n=1man⋅bn≠n=1man∙n=1mbn
2.-La sumatoria de un cociente no es igual al cociente de las sumatorias:
n=1manbn≠n=1mann=1mbn
3.-La sumatoria de una potencia no es igual a la potencia de la sumatoria:n=1manc≠n=1manc

Suma de los n-términos de una sucesión:
El proceso que hemos realizado para calcular la suma de una sucesión con muchos términos, es un poco complicado.
En el caso que la sucesión se forma con números naturales, es conveniente usar la fórmula general para hallar la suma de los n-términos.
i=1nai=a1+ann2, si a1, a2, a3,….,an∈N
Ejercicios resueltos
1.-Hallar la suma delos 23 primeros números positivos terminados en 7.
Solución:
Se halla la suma de los n-términos de la sucesión que terminan en 7: 7,17,27,…, donde a1=7 y an=10n-3, entonces:
i=1nai=7+10n-3)n2=10n+4n2=25n+2n2=5n+2n; como se desea hallar la suma de los primeros 25 números positivos terminados en 7 se remplaza n por 23. Luego: n=123an=5∙23+2∙23=2.806. Entonces, la suma de los primeros 23 númerospositivos terminados en 7 es 2.806.
Ejercicios para resolver:
1.-Escribir los seis primeros términos de cada sucesión: a) an=1n2(n+1) b) an=83n3
2.-Deducir la fórmula del término general de cada sucesión:
a) an=5,12,18,24,…… b) an=2,32,43, 54,65,….
3.-Si an=n+2n2-1+4; calcular: a) a5+a612 b) 4(a9-a7+a5)3
4.-Determinar la suma de los siete primeros términos de cada sucesión:...