Suseciones

SUCESIONES Y SERIES
José Darío Sánchez Hernández
danojuanos@hotmail.com
§1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES.
1.1. Introducción.
Los números naturales son algo que actualmente está en el medio ambiente, quizás
por esto llegó el matemático alemán Leopoldo Kronecker a decir: “El buen Dios dió al
hombre los números naturales; el resto ha sido obra suya " .
Se consideran los números naturalescomo la estructura básica de la Matemática y
siguiendo al matemático italiano Giuseppe Peano, los únicos términos técnicos que
intervienen son los de número natural, primer natural (cero para nosotros y uno para
otros, según los gustos) y “ el siguiente de ", o, “ el sucesor de ", con los siguientes
axiomas:
N... Cero es un número natural
N... El siguiente de todo número natural también esnúmero natural
N... Si .. es una colección de números naturales tal que cumple:
...... 0 esta en ..
........ Cada vez que un natural está en .., también el siguiente de él está en
...
Entonces S es el conjunto de todos los naturales.
N.... Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son
iguales.
N....Cero nunca es sucesor de un natural.
Sucesor de un conjuntosignifica, a otro conjunto con un elemento más; una manera de
formar a partir de un conjunto dado .. otro con un elemento más, es agregar el mismo ..
como elemento, a esté le llamaremos “el sucesor de .. " y se le nota ......
.... .. .. .. .......
Así
0.. .. .. .. ...... .. .. .. ...... .. ..
.... .. .. .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .... .. ..
.... .. .. .. ...... .. ...... .... ........ .. ...... .... .... .. ..
.... .. .. .. ...... .. ...... .... .... .. ...... .. ...... .... .... .... .. ..
..
Darío Sánchez CURSO DE SUCESIONES Y SERIES 2
Notaremos con .. al conjunto de todos los números naturales.
1.2. Definición de sucesión.
Sea .. .. .. un subconjunto de números reales y .. .. ...... una función, es decir,
(.... .. .................. ........ .. ........ ....... Al conjunto ............ .. .. se le llama una
sucesión en ....
De la teoría de conjuntos se sabe que cuando ........ .. ..significa que “............ .. .. .. ......
...... ........ .. .." , en este caso se denota .. .. .... . En esta forma al conjunto ............ es al
..
0
que usualmente se le llama una sucesión y a .... se le conoce como el ..-ésimo
término de la sucesión.
Ejemplo.Así los conjuntos ...... .... ...... ............ y ...... ...... son sucesiones en .. .. ..
.. .. .... .. ..
.., representados por
.......... .. .... .... ...... .......... y .. .... .... .
...... ......
.. .. .. .......... .. .. .. .. ..
.... .. .. .... .. ..
Cuando .. .. .. y .. .. .. .. A es una sucesión entonces ........ es llamada
..
....0 una
sucesión de números reales osimplemente una sucesión real .
1.3 . Sucesiones Monótonas.
Sea ........ ........
.. ..
....0 ....0 una sucesión real, se dice que es una sucesión creciente
cuando la siguiente proposición es verdadera
.. .. .. .. .... .. ....
Ejemplo. Los conjuntos .......... .. ..........
....1 ....1 son sucesiones crecientes.
Análogamente sea ........ una sucesión real , se dice que ........ es
.. ..
....0....0 decreciente
si
.. .. .. .. .... .. ....
Ejemplo. Los conjuntos .. .. .. .. .. .. ......
.. ..
.. ..
...... .. ...... son sucesiones decrecientes.
Se dice que una sucesión ........ es
..
....0 una sucesión monótona si es creciente o
decreciente.
Una sucesión ........ ..
..
....0 se dice acotada superiormente si existe una constante
tal que .... .. .... ........ ........ .. ......
Se dice que la sucesión ........ es si existe una constante
..
....0 acotada inferiormente
.. tal que .... .. .... ........ ........ .. .. ....
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Se dice que una sucesión ........ es si es acotada superior e inferiormente,
..
....0 acotada,
es decir que existe una constante .... .. .. tal que ........ .. ...... para todo .. .. ....
1.4....