Sustituciones Trigonométricas
En un documento de texto, calcula la integral mediante sustitución trigonométrica para cada caso y dibuja el triángulo asociado.
1.- 1x2x2-9dxPrimero, elaboro el triángulo en el cual me apoyaré.
Por la forma que presenta el radical utilizo...
Sec = hipCat. Ady.= x3 (y al despejar x…)
x=3 Sec
dx=3 Sec Tan d
Además ocuparéla Identidad Trigonométrica…
Tan2θ= Sec2θ-1
Preparo el radical…
x2-9= (3 Sec θ)2-9= 9 Sec2θ-9= 9Sec2θ-1= 9(Tan2θ)=3 Tan θ
Rescribo la Integral y sustituyo lo obtenido previamente…1x2x2-9= dxx2x2-9= 3 Sec θ Tan θ(3 Sec θ)2 3 Tan θ dθ= 3 Sec θ Tan θ9 Sec2 θ 3 Tan θ dθ=…
Reduzco término…
13 Sec θ (3) dθ= 19 Sec θ= 19 dθSec θ= 19 Cos θ dθ=…
Y finalmente Integro…
Sen θ9+CDespués, lo expreso en términos de x…
Como Seno= Cat. Op.hip
x2-9x91=x2-99x+C
2.- 1x225-x2dx
Primero, elaboro el triángulo en el cual me apoyaré.
Por la forma que presenta el radicalutilizo...
Sen = Cat. Op.hip= x5 (y al despejar x…)
x=5 Sen
dx=5 Cos d
Además ocuparé la Identidad Trigonométrica…
Tan2θ= Sec2θ-1
Preparo el radical…
25- x2= 25-5 Sen θ2=25-25 Sen2θ= 25- 1-Sen2θ=…
…= 25(Cos2 θ)=5 Cos θ
Rescribo la Integral y sustituyo lo obtenido previamente…
1x225- x2= dxx225- x2= 5Cos θ(5 Sen θ)2 5 Cos θ dθ= 125 Sen2 θ dθ= 125dθSen2θ=…
Yfinalmente Integro…
-Cot θ25+C
Después, lo expreso en términos de x…
Como Cot= Cat. Ady.Cat. Op.
25-x2x251=25-x225x+C
3.- x3x2+4 dx
Primero, elaboro el triángulo en el cual meapoyaré.
Por la forma que presenta el radical utilizo...
Tan = Cat. Op.Cat. Ady.= x2 (y al despejar x…)
x=2 Tan
dx=2Sec2 d
Además ocuparé la Identidad Trigonométrica…Tan2θ+1= Sec2θ
Preparo el radical…
x2+4= 2 Tan θ2+4= 4 Tan2θ+4= 4Tan2θ+1= 2Sec2θ)=2 Sec θ
Rescribo la Integral y sustituyo lo obtenido...
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