SUSTITUCIONESDIVERSA

ࢊ࢟
૚
=
ࢊ࢞ ඥ࢞ + ૜࢟

Sea la sustitución.

‫ ݖ‬ଶ = ‫ ݔ‬+ 3‫ >= ݕ‬2‫ݖ‬

Aplicamos el cambio

݀‫ݖ‬
݀‫ݕ‬
2 ݀‫ ݖ‬1 ݀‫ݕ‬
=1+3
=> ‫ݖ‬
− =
݀‫ݔ‬
݀‫ݔ‬
3 ݀‫ ݔ‬3 ݀‫ݔ‬

݀‫ݖ‬
3
݀‫ ݖ‬3
݀‫ݖ‬3 + ‫ݖ‬
2 ݀‫ ݖ‬1 1
‫ݖ‬
− =
=> 2‫ݖ‬
−1=
=> 2‫ݖ‬
= + 1 => 2‫ݖ‬
=
݀‫ݔ‬
‫ݖ‬
݀‫ݖ ݔ‬
݀‫ݔ‬
‫ݖ‬
3 ݀‫ ݔ‬3 ‫ݖ‬

Queda entonces

2‫ ݖ‬ଶ ݀‫ݖ‬
2‫ ݖ‬ଶ
= 1 =>
݀‫ݔ݀ = ݖ‬
3 + ‫ݔ݀ ݖ‬
3+‫ݖ‬Integramos, ante todo la primera hay que dividir polinomio
‫ݖ‬ଶ
9
=‫ݖ‬−3+
3+‫ݖ‬
‫ݖ‬+3

Queda la integración.

‫ݖ‬ଶ
2 ቆ − 3‫ ݖ‬+ 9 lnሺ‫ ݖ‬+ 3ሻቇ = ‫ ݖ >= ݔ‬ଶ − 6‫ ݖ‬+ 18 lnሺ‫ ݖ‬+ 3ሻ= ‫ݔ‬
2

Regresando el cambio.
Despejando “y”

‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬− 6ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 18 ln൫ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3൯ = ‫ݔ‬
࢟ = ૛ඥ࢞ + ૜࢟ − ૟ ‫ܖܔ‬൫ඥ࢞ + ૜࢟ + ૜൯ + ࡯

Resultado que se obtienedirecto si se cambia las variables de la ecuación.
Mismo cambio de variable.

݀‫ݔ‬
݀‫ݖ‬
= 2‫ݖ‬
− 3 =>
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬

݀‫ݔ‬
= ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬
݀‫ݕ‬

2‫ݖ‬

݀‫ݖ‬
݀‫ݖ‬
2‫ݖ‬
− 3 = ‫ >= ݖ‬2‫ݖ‬
=‫ ݖ‬+ 3 =>
݀‫ݕ݀ = ݖ‬
݀‫ݕ‬
݀‫ݕ‬
‫ݖ‬+3

Integrando.

‫ = ݕ‬2න1 −

3
݀‫ = ݕ >= ݖ‬2ሺ‫ ݖ‬− 3 lnሺ‫ ݖ‬+ 3ሻሻ + ‫ܥ‬
‫ݖ‬+3

Regresando el cambio de variable.

࢟ = ૛ඥ࢞ + ૜࢟ − ૟‫ܖܔ‬൫ඥ࢞ + ૜࢟ + ૜൯ + ࡯

.- Comprobemos que en si es la solución. Para ello derivamos.
‫ݕ‬ᇱ = 2 ቌ

1

1
1
ሺ1 + 3‫ ݕ‬ᇱ ሻቍ − 6 ቆ
ሺ1 + 3‫ ݕ‬ᇱ ሻቍ
ቇቌ
2ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3 2ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬Agrupamos de un lado las “ y’ ”
‫ ݕ‬ᇱ ቆ1 −

3

ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬

Simplificamos

‫ ݕ‬ᇱ ቌ1 +

+

1
3
ቇ=
−
൫ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3൯൫ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬൯
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬൫ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3൯൫ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬൯

1

ඥ‫ݔ‬+ 3‫ݕ‬

‫ ݕ‬ᇱ ቌ1 +

9

ቆ−3 +

1

ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬

ቆ−

‫ ݕ‬ᇱ ቆ1 −

‫ݕ‬ᇱ ቆ

ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬

9

1
3
ቇቍ =
ቆ1 −
ቇ
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3
3ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬

1
ඥ‫ ݔ‬+3‫ݕ‬
ቇቍ =
ቆ
ቇ
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3
3

ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3

ቇ=

1

ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3

1
ቇ=
=>
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3
ඥ‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬+ 3

࢟ᇱ =

૚

ඥ࢞ + ૜࢟...