SusTri

UNIDAD No. 2
Métodos de integración
Integración por sustitución
trigonométrica

INTEGRACIÓN MEDIANTE
SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA


Cuando un integrando contiene
potencias enteras de x y potenciasenteras de alguna de las expresiones:
2

a  x

2

2

, a x

2

2

o bien x  a
es posible que se puedan evaluar por
medio de una sustitución
trigonométrica.

2

CASO 1 Integrandos que
2
2
contienen a x


En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos

a

x


a2  x2

x aSen( )

CASO 2 Integrandos que
2
2
contienen a  x


En este caso utilizaremos lasiguiente
representación:
A partir de ella, definimos

a2  x2

x


a

x aTan ( )

CASO 3 Integrandos que
2
2
contienen x  a


En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir deella, definimos

x

2

x a


a

2

x aSec( )

PROCESO DE INTEGRACIÓN
MEDIANTE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA



Para resolver una integral mediante el
método de sustitución trigonométrica
hay queseguir el siguiente proceso:

1.

Proponer la sustitución adecuada.
Reemplazar los términos en la integral a partir de la
sustitución propuesta.
Resolver la integral equivalente obtenida al
reemplazar lostérminos a partir de la sustitución
propuesta.
Expresar la solución de la integral equivalente en
términos de la sustitución original.

2.
3.

4.

EJEMPLO:


Resolver:

x

dx
16  x 2

Seguiremospaso a paso con el proceso
indicado.
2
2
Como el radical tiene la forma a  x
con a = 4, tenemos una integral del CASO
2 y:
1. El cambio indicado es: x 4Tan ( )
Con ello, tenemos la siguienterepresentación gráfica:

SOLUCIÓN:
16  x 2


x 4Tan ( )

dx 4 Sec 2d
16  x 2  16  16Tan 2

x

 16(1  Tan 2 )

 16Sec 2 4Sec

4
2. Reemplazando los términos en la
integral propuestatenemos:
dx
4 Sec 2d
x 16  x 2 4Tan  4Sec

SOLUCIÓN…
Simplificando:
dx

4 Sec 2d
x 16  x 2 4Tan  4Sec
dx

1 Secd
x 16  x 2  4  Tan 
dx

1
1 / Cos
1
1
x 16  x 2  4 Sen / Cos...