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DERIVADAS

I) Derivada en un punto

Sea y = f (x) una función dada; f: R → R. La primera derivada de la función f con respecto a la variable x, en un punto cuando x = a, se escribe por: f '(x) y se define mediante el siguiente límite, si este existe:

f '( x) = lim f(x+h) – f(x) ó f '( a) = lim f(a+h) – f(a)
h→0 hh→0 h

Notación: y', f'x, Dx y, Dx f , dx/dy, dx/df
Gráficamente:

[pic]

Interpretación geométrica de la derivada:
La pendiente de la recta tangente:f '( x0 ) = m(x0 ) , se define mediante el siguiente límite:

lim f(x) – f(x0)
x→x0 x→x0 siempre que este límite exista.

Es decir:
La pendiente de la tangentea la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.


Ejemplos

1) Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
Sol: Aplicando la definición dada[pic]

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2) Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.


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3) Calcular la derivada de [pic] en x = −5.[pic]

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4) Hallar la derivada de [pic]en x = 1.


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5) Determinar la derivada de [pic] en x = 2.


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[pic]6) Calcula el valor de la derivada [pic] en x = 2.


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7) Hallar la derivada de [pic] en x = 3.


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Analicemos algunosejemplos considerando la interpretación geométrica,

1) Si f tiene derivada en x = a , llamaremos recta tangente al grafico de f en el punto (a, f(a)) a la recta que pasa por este punto y tienependiente f'(x) . La ecuación de esta recta es y – f(a) = f'(x) (x- a) .
Es la ecuación de la tangente de una curva y = f(x) en un punto a.


2) Si f tiene derivada en x = a y...