Sys2 Taller 1

Taller 1
Julián Arturo Hoyos,jahoyosr@unal.edu.co
Juan Guillermo Palacio Cano, jgpalacioc@unal.edu.co
Sergio Orlando Pinto Perez, sopintop@unal.edu.co
22 de septiembre de 2015

1.
1.1.

Sistemas mecánicos

Ecuaciones diferenciales:

Al ser un sistema netamente mecánico compuesto por resortes y amortiguadores, se trata de un problema de un solo dominio. En orden de modelar
el sistema dado se trazaun diagrama de cuerpo libre:

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre
En base al diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones diferenciales que describen al sistema, las cuales son:
x˙1 = x2
k2
B2
2
v1 − M
x2 + M
v2
x˙2 = − k1M+k1 1 x1 − B1M+B
1
1
1
x˙3 = v2
k1
B2
3
x
+
v − k3M+k2 2 x2 − B2M+B
v2
x˙4 = M
1
M2 1
2
2

1.2.

Función de transferencia

Se aplica transformada de Laplace en lasecuaciones anteriores, llevandólas al dominio de la frecuencia, para de este modo hallar la función de
1

transferencia de X1(s)/F (s) y dando valores a las constantes que conforman
el sistema (M1=5, M2=7, B1=2, B2=1, B3=1.5, k1=3, k2=1, k3=3.5):
F (s) = X2 (s)(−B2 s − B3 s − k2 − M2 s2 − k3 ) + X1 (s)(k1 + B2 s)
2
2 +B1 )s+(k1 +k2 ))
X2 (s) = − X1 (s)(M1 s +(B
k2 +B2 s
Función de transferencia halladamanualmente:

X1 (s)
F (s)

=

s+2

35s4 +33,55s3 +69s2 +24s+21,5

Función de transferencia hallada computacionalmente:

X1 (s)
F (s)

1.3.

=

0,02857s+0,05714
s4 +0,9571s3 +1,971s2 +0,6857s+0,6143

Ecuaciones de estado:

Definiendo como variables de estado las posiciones en el eje x de las dos
masas (x1 y x2) y dadas las ecuaciones diferenciales halladas, se definen las
ecuaciones de estadosiguientes:




0
0
1
0
0
x1
x1
   
 k1 +k1
B
+B
k
B
x 
1
2
2
2


−
−
−
v
 2
 0 
1
M1
M1
M1
M1

 =
  +   u(t)


x3 
0
0
1  x2   0 
 0
1
k1
B2
k3 +k2
B2 +B3
x4
v2
− M2 − M2
M2
M2
M2






x1
v 
1
y(t) = 1 0 0 0 
  + 0 ∗ u(t)
x2 
v2


2







1.4.

Respuesta al paso del sistema:

Teniendo en cuenta la descripción de estado de las posiciones x1 yx2,
y haciendo uso de la función step en Octave, se representa la respuesta al
paso del sistema estudiado, además se compara el resultado obtenido con
un algoritmo de simulación propio basado en el uso de la función lsim (que
otorga la respuesta al paso).

Figura 2: Respuesta al paso (Ecuaciones de estado)

3

Figura 3: Respuesta al paso (Transformada fourier)

1.5.

Simulación F= 5 N:

Por otrolado se procede a simular el la respuesta al paso sistema (función
escalón unitario heavidise) con una entrada F=5N , asumiendo el sistema
como un corrimiento de puntos (discretización) y escogiendo un tamaño de
paso adecuado, para esto se debe ser consciente de la duración del evento y
del valor de las constantes, en este caso, un tiempo considerable y valores
muy pequeños respectivamente.

4Figura 4: Simulación F= 5 N)

Figura 5: Código punto 1

5

2.

2.1.

Sistemas electromecánicos

Ecuaciones de estado:

Figura 6: Diagrama de cuerpo libre

Este sistema está compuesto por una parte mecánica y otra eléctrica,
es decir se trata de un sistema multidominio. Sabiendo esto se modela una
ecuación diferencial eléctrica y dos ecuaciones más en el aspecto mecánico,
que mediante las ecuacionesde interface se relacionan entre sí, dando como
resultado cinco variables de estado (iA , θ, ω, x, v) y la siguiente ecuación ss:

A
−R
x1
LA
 

 0
x2 

 
x  =  KT
 JM
 3

 
 0
x4 
x5
0







0
0
− JKM2
0
K2
R∗MRack

V
−K
LA
1
M
− BJM
0
0

0
0
K2
R∗JM

0
1
2
− MRack
∗ (K
R2



1
iA
LA
   
θ   0 
   
  ω + 0  u(t)
   
   
x  0 
1
v
0
+ K1) − MBRack

0
0
0
1



iA
 
θ
 

y(t) = 0 0 0 0 1 
 ω  + 0 ∗ u(t)
 
x
v

6



 



2.2.

Función de transferencia

Mediante ayuda computacional del programa Maple, se calcula la función
de transferencia H(s) = V (s)/U (s) correspondiente a este sistema, dando
valores a las constantes (RA = 3, LA = 2, kt = 2, JM = 3, BM = 4, k2 =
3, R = 0,5, MRack = 3, kv v = 2, k1 = 2, B1 =...