Sólido Rígido

TEMA 4:

1. 2. 3. 4. 5. 4.

Sólido rígido Momento de una fuerza. Momento de inercia. - Diversos casos Concepto de momento angular Ley de conservación del momento angular - Consecuencias Centro de masas.

7. Energía cinética de rotación.
1

Sólido Rígido
Un sólido rígido es una idealización de los cuerpos sólidos: aquél cuyas distancias entre sus partes permanecen inalterables duranteel movimiento
Un cuerpo sólido como una piedra se asemeja a un sólido rígido. Sin embargo, un sólido rígido no se podría deformar ni fragmentar.
: centro de masa

F F
v = a t + v0
Al aplicar una fuerza sobre un sólido rígido

F

a ω = a t+ ω0

Al aplicar un par de fuerzas sobre un sólido

tal que su línea de acción pase por el centro rígido, éste adquiere una aceleración angularrealizando un movimiento de rotación. de gravedad, aquél adquiere una aceleración realizando un movimiento de traslación. Lo que importa es la magnitud de la fuerza aplicada Importa tanto la magnitud de las fuerzas como su distancia el centro de rotación: el momento de las fuerzas aplicadas
2

Concepto de momento de una fuerza
Aplicando una sola fuerza a un sólido con una ligadura siempre apareceuna fuerza de reacción en el punto o eje de rotación En la rotación de un sólido lo que importa es el momento de la fuerza aplicada

F^ θ F7
Punto de aplicación de la fuerza

Definición:

r r r M =r×F

Es el producto vectorial de un vector distancia y una fuerza.

Sólido rígido (en forma de barra)
Fuerza de reacción sobre el punto de rotación. Notar que su momento con respecto al ejeES NULO

r r r M = r ⋅ F ⋅ sin θ
F¦

Sólo interviene la componente perpendicular de la fuerza

Si la fuerza aplicada es perpendicular al vector r:

En toda rotación siempre actúa un par de fuerzas

r r r M = r⋅ F
sin (p/2) = 1 | r |= d
3

Momento de inercia
Ley de Newton aplicada a la rotación: F m r

r r r r M = r × F = Iα

I : Momento de inercia respecto al eje de giro
Haceel papel de la masa inercial en la rotación

F = m a = mα r → M = F ⋅ r = mα r 2 = m r 2 α Momento de inercia de una masa puntual Ø I = m r2
respecto al centro La ley de la palanca es consecuencia del momento de una fuerza. Con igual fuerza a mayor distancia mayor momento

Partícula girando en círculo bajo la acción de una fuerza F

Fuerza de reacción d1 d2

F

F

“Dadme un punto deapoyo y moveré el mundo”

M1 = F d1 < M2 = F d2

Arquímedes

4

Momento de inercia II
Supongamos ahora dos masas puntuales unidas por una barra de masa despreciable

F m
d=2R R

F ⋅ d / 2 + F ⋅ d / 2 = F ⋅ d = 2 m R 2 ⋅α
Momento total de las fuerzas aplicadas. En general, es una suma vectorial Momento de inercia de dos partículas respecto al centro
Ejemplo: R

m F Para un sistemadiscreto de N partículas:

M

Para un sistema continuo de materia:

I = ∑ mi ri
i =1

N

2

I = ∫ dm r 2
M

I = M R2
como r es constante y vale R
5

Sumatorio e integral extendidas a todas las partes o volumen del cuerpo

Algunos momentos de inercia
Hay que especificar el cuerpo y el eje de rotación Cálculo del momento de inercia de un disco macizo y homogéneo

R

M
σ: densidad superficial de masa = M /p R2

I = ∫ dm r = σ
2 M

∫

R

0

2 π r ⋅ r 2 dr = ⋅ R2 = 1 M R2 2

σ π R4
2

=

σ π R2
2

La densidad de carga eléctrica es MUY importante en el estudio de fenómenos eléctricos en conductores y circuitos.
6

Ejercicios
1 Hallar el momento de inercia de un disco compacto de radio exterior R2 = 5 cm y radio interior R1 = 1 cm si sumasa es de 10 g. La expresión que proporciona el momento de inercia para esta geometría es

1 0.01 ⋅ (1 + 25) ⋅10 −4 2 2 I = M R1 + R2 = = 1.3 ⋅10 −5 kg m 2 2 2

(

)

2

Deducir el momento de inercia de una varilla homogénea de masa M y longitud L con respecto a un eje perperdicular que pase por un extremo

dm = λ dx x dx
2

λ: densidad lineal de masa ( M = λ L )
Integramos...