Técnico

BASES ORTONORMALES
Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.
Recuérdese que dosvectores u y v en son ortogonales si y sólo si u · v = 0.
Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizartodas las combinaciones de los productos punto:
u · v , u · w , v · w
Ejemplo 1.
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal?
Alrealizar los productos punto
u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0
Nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.
Un conjunto de n vectoresen es una base ortogonal si:
· El conjunto es base de y
· Es un conjunto ortogonal.
Ejemplo 2.
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar sison una base ortogonal de Son 3 vectores en , se forma la matriz

Cuyo determinante detA = –24 (diferente de cero) , lo que implica que los vectores son linealmenteindependientes, y el conjunto es base de .
Realizamos los productos punto y obtenemos que
u · v = 0, u · w = 0 y v · w = 0

Por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una baseortogonal.


Ejemplo 3.

En el ejemplo 2 se determinó que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal, esto es, hayque calcular sus magnitudes.



Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base ortonormal.

Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la mismadirección de un vector dado, dividiéndolo entre su magnitud:
Vector unitario =

Se dice que el nuevo vector está normalizado.












Ejemplo 4.
 
Al normalizar los vectores de...