T0331

ECUACIONES E INECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operador
trigonométrico como el seno, coseno, etc.

F.T. (ax + b) = N

Es de la forma :

............... (*)

Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en el "rango" de la funcióntrigonométrica
inversa.
De (*) :

Vp = Arc F.T. (N)

3  Vp  ArcSen 3   
 2  3
2



Cos 2x      1  Vp  ArcCos  1   2
4
2

 2 3

y.
c

*

*

3x  

Tan
   1  Vp  ArcTan(1)  
4
 5 8

ta

Sen3x 



ECUACIÓN

K

.m

Si : Senx  N

SOLUCIÓN
x  K  (1) Vp

;  k Z

Si : Cosx  N

w
w

ECUACIÓN

at

es

EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS ARCOS QUETIENEN LA MISMA FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA

Obs : Vp = ArcSen(N)

SOLUCIÓN
x  2K   Vp



; K  Z

Obs : Vp = ArcCos(N)

w

*

om

Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con a  0 .
Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valores principales :

ECUACIÓN

SOLUCIÓN

Si : Tanx  N



x  K  Vp

; K  Z

Obs :Vp = ArcTan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Inecuación Trigonométrica : Es una desigualdad condicional que involucra funciones trigonométricas por lo menos
una.
Ejemplos :

*
*

Sen2x > Cosx
Tan2x + Cot2x > Cscx

*

Sen 3xCosx  SenxCos 3x  1
4

Sen 2x  1
3
Inecuación Trigonométrica Elemental : Una inecuación trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma :
*

F.T.(Kx  )  a , x :incógnita
Ejemplos :

*

Senx  1
2
Instituto Nacional

*

Cos 2x 

3
2

*

1/10

Tan3x  1

Prof. Carlos H. Estay Fuentes.

Resolución de una Inecuación Trigonométrica Elemental :
Se estila seguir dos métodos :
Resolver : Senx  1
2
Método I :
En la circunferencia trigonométrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que

1
, así :
2

y
5
6

1
2

Senx  1    x  5 
6
2
6El conjunto solución general será :


6

  2n  x  5   2n ; n  Z
6
6
; nZ
x    2n ; 5   2n
6
6

om

x2+y2=1



g(x)  1
2

ta

f(x )  Senx

y.
c

Método II :
Graficamos en un mismo sistema coordenado las funciones :

es

Los puntos de intersección en un periodo del Senx : osea en 0 ; 2 , se obtienen con :

at

f(x )  g(x )  Senx  1
2

w
w

.m

 x
6

x  5
6

w

y



1g(x) 

1
2

1
2

2

6

x

5
6

f(x)=Senx
1

Instituto Nacional

2/10

Prof. Carlos H. Estay Fuentes.

EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Sume las dos primeras soluciones positivas de:

a) 90º
d) 225º

Sen 2x  1
2

b) 180º
e) 135º

c) 270º

08. Resolver :
b) 360º
e) 135º

c) 90º

1

Cos 3x  1
2
b) 240º
e) 270º

a) 90º
d) 225º

b) 180º
e) 150º

c) 200º

05. Resolver :(Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5x
Indique la suma de los tres primeros valores positivos
de "x"
a) 2

b) 3

7
3

e) 4 

d)

e)

b) 180º
e) 210º

c) 165º

4

c)


3


12

SenxCosy  4
5

........... (1)

SenyCosx  1
5

........... (2)

x
x
x
x
x

= 63º30'
= 53º
= 71º30'
= 67º30º
= 60º

;
;
;
;
;

y
y
y
y
y

= 26º30'
= 37º
= 18º30'
= 22º30'
= 30º

Cos(2 ArcCosx )  1
2

07. Señale la suma de las dos menores solucionespositivas
de la ecuación :

 1
a)  
 2


3
b)  2 





c)  1 ;  3 
2
2





d)  1 ;  3 
2 



2
e)  2 


12. Resolver :

4

Sen x  Sen x  Cos x  1

Instituto Nacional


8

c) 

Sen5 x  Sen 3 x  3 (Cos 5x  Cos 3x )

2

d)


6

11. Resolver :

06. Sume las tres primeras soluciones positivas de la
ecuación :

a) 135º
d) 160º

b)

a)
b)
c)
d)
e)

w

3
2


4Para : x , y  0 ; 90º

w
w

c) 1

a)

ta
es
at
.m

1
2

e) 

c) 180º

10. Resolver :

si : x1  x 2

1
d) 
2

1

y.
c

2

2Sen x  Cosx  1 ,
calcule : Sen(x  x ) ,
2
1

b)



Cos 4 x  Sen 4 x  2Cos
Cos 2x Sen 2x
Luego, señale la menor solución positiva.

04. Si : x1 y x 2 son los dos primeros valores positivos de
"x" que verifican :

3
2

b) 135º
e) 270º

2

09. Al resolver la ecuación :...