T04 Dinamico

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE
LOS PROCESOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Química y Textil

Curso: “Simulación y Control de Procesos”
PI426
Profesor: Ing. Celso Montalvo
1

Comportamiento Dinámico de los
Procesos
• El comportamiento de los procesos ante el efecto de
perturbaciones ó acciones externas se representa
por medio de sistemas de ecuaciones diferenciales
ya quesus propiedades varían con el tiempo.
• Para resolver dichas ecuaciones (el modelo
matemático) se usan las Transformadas de Laplace.
Como resultado se obtiene una Función de
Transferencia, que relaciona la Respuesta del
Sistema ante una Función Forzante:
Y
=
(s) G (s) ⋅ X (s)

CELSO MONTALVO

Y( s )
= G (s)
X( s )
Respuesta Transitoria

Función de
Transferencia

Función Forzante

2Comportamiento Dinámico de los
Procesos
• La Función de Transferencia representa una
caracterización del Comportamiento Dinámico
del Proceso. Este comportamiento produce
diferentes respuestas cuantitativas según el
estímulo ó función forzante que se le aplique.
• Funciones Forzantes típicas son las siguientes:
−
−
−
−

Escalón.
Rampa.
Sinusoidal.
Pulso ó Impulso.

CELSO MONTALVO

3

Pulso e Impulso
• UnPulso es una función que a t = 0 toma un valor
durante un tiempo limitado y luego su valor se hace 0.
• Un Pulso Unitario es un pulso cuya área es igual a 1.
• Un Impulso es un pulso
unitario cuya duración es
igual a cero.

Step Response
4

3.5

3

Amplitude

2.5

2

1.5

1

A 0.5
0
0

CELSO MONTALVO

0.5

1

1.5

2
Time (sec)

1/A

2.5

3

t

3.5

4

4

Descripción Matemática
• Un pulso rectangularunitario
a t=0 se representa por dos
señales tipo step.

F(t)
1/A
A
0

G(t)

1/A

A
 0 t < 0
 0 t < A
0
P(t ) = F (t ) + G (t ) F (t ) =  1
G (t ) =  1
F(t)+G(t)
≥
−
≥
t
0
t
A
 A
 A
Teorema de L’Hospital
1
P (t ) = F (t ) − F (t − A)
P( s) =
F ( s ) − e − sA F ( s ) = (1 − e − sA ) lim gf (( AA))  = lim dgdf (( AA)) 
As
A→ 0

A→ 0

• Para un pulso unitario (de área 1) conA→0 se
obtiene la Función de Dirac ó Impulso Unitario.

{

}

δ(t ) = lim(P(t ) ) L{δ(t )} = L lim(P (t ) ) = ∫ lim P (t )e − st dt
A→ 0

A→0

L=
{δ(t )} lim ∫

∞

A→ 0 0

δ( s ) = 1

CELSO MONTALVO

∞

0 A→ 0

1 − e − sA 
 se − sA 
P(t )=
e dt lim  =
lim  =
1


A→ 0
A
→
0
 As 
 s 

δ(t)

− st

0

5

Funciones Forzantes y sus
Transformadas
FORZANTE

f (t )

TRANSFORMADA
A
K
Escalón
s
1t
Rampa
s2
2
t2
Parábola
s3
1
Exponencial e − at
s+a
k
Sinusoidal sin(kt) 2
s + k2
A
−t s
PlsAxt p
⋅ (1 − e p )
Pulso
s
Impulso
1
δ(t)

CELSO MONTALVO

6

Respuesta Transitoria de los Procesos
• La Respuesta Transitoria es calculada al invertir la
transformada resultante del producto de la Función
de Transferencia por la Función Forzante.
Y
=
(s) G (s) ⋅ X (s)

• Ejemplo, para una función deprimer orden y una
Función Forzante tipo escalón:
=
G (s)

1
K
=
X (s)
s
τ s +1



1
B 
 1 K
A
(s) 
K
=
=
=
Y

 K +

 τs + 1  s
 s τs + 1 
 s ( τs + 1) 
Y=
(t ) K (1 − e − t / τ )

CELSO MONTALVO

7

Sistemas de Primer Orden
• Respuesta Transitoria para otras funciones forzantes:
Rampa, Sinusoide, Exponencial, Impulso

Temperatura, ºC

Respuesta Transitoria a una Rampa

RespuestaTransitoria a un Sinusoide

5

1

4.5

0.8

4

0.6

3.5

0.4

3

0.2

2.5

0

2

-0.2

1.5

-0.4

1

-0.6

0.5

-0.8

0
0

1

3
2
Tiempo, min

4

-1
0

5

TF (t ) = t ; TC (t ) = τe − t / τ + t − τ

=
TF (t ) s en(t=
) ; TC (t )

20

15

10

5

τ − τt
sen t( + arctg (−τ)) +
e
1 + τ2
1 + τ2
1

Respuesta Transitoria a un Exponencial
1

Impulse Response

1

0.9
0.9

0.8
0.8
0.7

0.6

0.6
AmplitudeTemperatura, ºC

0.7

0.5
0.4

0.5
0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0
0

2

4

6

8

10

0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Time (sec)

−t / τ
=
TF (t ) e=
; TC (t ) te − t / τ

CELSO MONTALVO

=
TF (t ) Impulse
=
; TC (t ) e − t / τ

8

Respuestas Transitorias Típicas
1
e − at − e − bt

b−a
( s + a )( s + b)

s+a
1
[(a − b)e − bt − (a − c)e − ct ]

c −b
( s + b)( s + c)

e − at
e − bt
e −...