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Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación.
Ampliación de Matemáticas.
Lección 4.

ANÁLISIS DE FOURIER.
Curso 2010-11

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La serie de Fourier de una función

El planteamiento central de esta lección es el siguiente. Dada una función periódica f (t), por
ejemplo de período 2π, queremos escribirla como una combinación en laque intervengan únicamente senos y cosenos, que son las funciones periódicas de período 2π más simples y conocidas:
f (t) ¿=?

∞
X

[an cos(nt) + bn sen (nt)] .

n=0

Una serie de este tipo recibe el nombre de serie trigonométrica o serie de Fourier.
El problema de la representación de una función mediante una serie trigonométrica surge,
como veremos en la lección 6, de la resolución deecuaciones en derivadas parciales. En torno a
1750, J. d’Alembert, D. Bernoulli (1700—1782) y L. Euler estudiaron la ecuación de ondas que
gobierna el problema de la cuerda vibrante, un problema planteado y estudiado por B. Taylor
(1685—1731) que había obtenido soluciones en forma de funciones sinusoidales. D’Alembert dio
una solución muy general y Euler probó que si en el instante inicial la forma de lacuerda es una
combinación finita de senos, entonces ocurrirá lo mismo en cualquier instante posterior, dando
mucho más tarde, en 1777, las fórmulas que permiten calcular los coeficientes de la combinación.
En 1753, D. Bernoulli utilizó esta representación para resolver el problema de la cuerda vibrante
para una posición inicial cualquiera, pero su solución suscitó mucha controversia. Fue J.B.Fourier
(1768—1830) quien, al analizar en una famosa memoria presentada en 1807 la ecuación que gobierna la transmisión del calor en una barra, retomó las ideas de Euler y Bernoulli y obtuvo
resultados muy ajustados a los experimentos, colocando el estudio de las series trigonométricas
–que hoy llevan su nombre– en el centro del escenario matemático del S. XIX. La teoría de
las series de Fourier tuvo alo largo del siglo pasado profundas implicaciones para el análisis
matemático y es hoy en día una herramienta fundamental de la ingeniería de telecomunicación.
En la teoría de la señal y la comunicación, cuando t es la variable temporal se dice que f (t)
es una señal periódica en tiempo continuo y cuando esta representación en serie de funciones
trigonométricas sea correcta, decimos que hemosdescompuesto la señal en armónicos o modos
de vibración.

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Lección 4. Análisis de Fourier

En esta lección estudiaremos bajo qué condiciones puede hacerse esta representación, cómo
calcular los coeficientes, los ejemplos más importantes, algunas propiedades y la forma compleja
de las series de Fourier. Finalmente, para funciones –señales– no periódicas, se introduce la
transformada de Fourier que,aunque es muy similar y comparte muchas propiedades con la
transformada de Laplace, se emplea en contextos muy diferentes.
Funciones periódicas. Recordemos que una función f : R → R es periódica de período T 6= 0
(o T -periódica) cuando existe T > 0 tal que
para cualquier t ∈R.

f(t + T ) = f(t)

En ese caso se tiene automáticamente que f(t + nT ) = f (t) para cualesquiera t ∈ R y n ∈ Z.
Estosignifica que sus valores se repiten a intervalos regulares y que su gráfica puede dividirse en
segmentos verticales de anchura T que son idénticos. Es obvio que si T es un período de f(t),
entonces también lo son −T, ±2T, ±3T, . . . Salvo las funciones constantes, todas las funciones
periódicas de interés en las aplicaciones, en particular las funciones continuas no constantes,
tienen lo que seconoce como un período fundamental o mínimo; o sea, un período T > 0 tal que
f (t) no es τ -periódica para ningún valor 0 < τ < T .
Los ejemplos típicos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas sen (t) y cos(t),
que son periódicas con período mínimo 2π. Las funciones sen (2t) y cos(2t) también tienen
período 2π pero su período mínimo es π. Más generalmente, dados ω > 0, φ y n ∈ N,...