t10residuos 1

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación.
Ampliación de Matemáticas.
Lección 10.

EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS.
Curso 2010-11

Puede afirmarse que, de alguna manera, el comportamiento de una función analítica cerca de
sus singularidades aisladas determina cómo es la propia función globalmente. Esto se pone de
manifiestoen el Teorema de los Residuos de Cauchy, uno de los teoremas más importantes de la
teoría de funciones de variable compleja. El residuo de una función analítica en una
P singularidad
aislada es el valor del coeficiente c−1 en su correspondiente desarrollo de Laurent n cn (z − z0 )n .
El Teorema de los Residuos generaliza el Teorema de la Integral de Cauchy a funciones que son
analíticas salvo en unconjunto finito de singularidades, y establece que la integral de una tal
función sobre una curva de Jordan recorrida en sentido positivo es igual al producto de 2πj por
la suma de sus residuos en las singularidades interiores a la curva. Veremos algunas aplicaciones
del Teorema de los Residuos al cálculo de integrales reales impropias.
En la última sección veremos el Principio de Variación delArgumento que relaciona el número
de ceros y el número de polos de una función f(z) interiores a una curva cerrada C con la variación
del argumento de f (z) al recorrer el punto z la curva C en dirección positiva. Como aplicación
del Principio de Variación del Argumento obtendremos el Teorema de Rouché, que relaciona el
número de ceros de dos funciones analíticas en la misma región, y el Criteriode Nyquist, que sirve
para determinar si hay polos de la función de transferencia con parte real positiva en el análisis
de la estabilidad de los sistemas de control. De forma adicional, y aunque esto no corresponde
estrictamente a la teoría de funciones de variable compleja, veremos otro criterio de estabilidad,
llamado Criterio de Routh-Hurwitz.

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El Teorema de los Residuos

Residuo en unasingularidad aislada. Sea z0 una singularidad aislada de una función f .
Entonces, según hemos estudiado en la lección anterior, existe un disco perforado Ω con centro en
z0 , digamos 0 < |z − z0 | < ρ, en el que f es analítica y admite un desarrollo en serie de Laurent
f(z) =

∞
X

n=−∞

cn (z − z0 )n = · · · +

c−2
c−1
+
+ c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + · · ·
2
(z − z0 )
z − z0

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Lección 10.El Teorema de los Residuos

donde los coeficientes del desarrollo vienen dados por
I
f (z)
1
cn =
dz
para cada n = 0, ±1, ±2, . . . ,
2πj C (z − z0 )n+1
siendo C cualquier curva de Jordan contenida en Ω, que rodea a z0 y recorremos en sentido
positivo. El coeficiente c−1 tiene un carácter especial ya que, salvo un factor constante, es igual
a la integral de f en C:
I
I
f (z)
1
1
c−1 =
dz =
f (z)dz.
2πj C (z − z0 )(−1)+1
2πj C
Veremos enseguida que esta relación de c−1 con las integrales de f sobre curvas que rodean a
z0 tiene aplicaciones muy interesantes, por eso recibe un nombre especial: el coeficiente c−1 de
la potencia (z − z0 )−1 del desarrollo en serie de Laurent de una función f en una singularidad
aislada z0 se llama residuo de f en z0 y se denota por Res(f, z0 ).
Teorema de losResiduos. Sea f una función analítica en un dominio Ω y sea C una curva de
Jordan contenida en Ω tal que f es analítica en la región interior a C salvo en un número finito
de singularidades aisladas. Entonces la integral de f sobre C es igual a la suma de los residuos
de f en dichas singularidades multiplicada por el factor 2πj. O sea,
I

C

f (z) dz = 2πj

m
X

Res(f, zk )

k=1

donde z1 , z2 ,. . . , zm son todas las singularidades aisladas de f rodeadas por C y C se recorre en
sentido positivo.

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Cálculo de los residuos en los polos

Residuos en los polos simples. Naturalmente, la utilidad del Teorema de los Residuos reside
en la posibilidad de calcular los residuos sin integrar, así que apenas tiene interés práctico si
no se dispone de algún procedimiento sencillo para determinar...