T3 Funciones

Cap´ıtulo 3

Funciones reales de variable real:
l´ımites y continuidad
3.1.
3.1.1.

Funciones reales de variable real
Introducci´
on

Una funci´
on f : A → B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f ) y el rango
B = Rang(f ), y en una regla que asigna a cada elemento x ∈ A un u
´nico elemento y ∈ B. Esta
correspondencia se denota como y = f (x) o x → f (x).
Se define la imagen de f como elconjunto
Im(f ) = f (A) = {f (x) : x ∈ A}.
Si A ⊂ R y B ⊂ R son subconjuntos de n´
umeros reales, se dice que f : A ⊂ R → R es una
funci´on real de una variable real.
´ n 3.1.1. La funci´
Definicio
on f : A → B, donde A ⊂ R y B ⊂ R, se dice que es:
1. Inyectiva ⇔ x1 = x2 ∈ A ⇒ f (x1 ) = f (x2 ).
2. Sobreyectiva ⇔ ∀y ∈ B

∃x ∈ A/f (x) = y.

3. Biyectiva si y s´
olo si es inyectiva y sobreyectiva.4. Creciente ⇔ x1 ≤ x2 ∈ A ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
5. Decreciente ⇔ x1 ≤ x2 ∈ A ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
1

2CAP´ıTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: L´ıMITES Y CONTINUIDAD
6. Estrictamente creciente ⇔ x1 < x2 ∈ A ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
7. Estrictamente decreciente ⇔ x1 < x2 ∈ A ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
8. Mon´
otona si y s´
olo si es creciente o decreciente.
9. Estrictamente mon´
otona si y s´
olo sies estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
10. Acotada superiormente ⇔ ∃M > 0 / f (x) ≤ M
11. Acotada inferiormente ⇔ ∃m > 0 / m ≤ f (x)

∀x ∈ A.
∀x ∈ A.

12. Acotada si y s´
olo si es acotada superior e inferiormente.
´ n 3.1.2. Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D de tal forma que B ⊂ C se
Definicio
define la funci´
on compuesta g ◦ f : A → D como
(g ◦ f )(x) := g(f (x)),

∀x ∈A.

´ n 3.1.3. Dada f : A → B se dice que f −1 : B → A es la funci´
Definicio
on inversa de f si
f −1 (f (x)) = x,

∀x ∈ A

y

f (f −1 (y)) = y,

∀y ∈ B.

´ n 3.1.1. Dada f : A → B existe su funci´
Proposicio
on inversa f −1 : B → A si y s´
olo si f es
biyectiva.

3.1.2.

L´ımite de una funci´
on real de variable real

´ n 3.1.4 (Definici´
Definicio
on de l´ımite). Sean f : (a, b) ⊂ R → R y x0 ∈(a, b). Se dice que
el l´ımite de f (x) cuando x tiende a x0 es igual a l ∈ R (se escribe l´ım f (x) = l ´
o f (x) → l
x→x0

cuando x tiende a x0 ) si
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 / 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − l| < ε.
En otras palabras, f (x) est´
a tan pr´
oximo del l´ımite l “como nosotros queramos” siempre que
x = x0 est´e “suficientemente pr´
oximo” a x0 .
En la definici´
on de l´ım f (x) = l noimporta f (x0 ) (el valor de f en x0 ), s´olo importan los
x→x0

valores de f en los puntos x pr´
oximos a x0 , pero con x = x0 .

3.1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

3

´ n 3.1.5 (Definici´
Definicio
on de l´ımites laterales). Se definen los l´ımites laterales por la
izquierda y por la derecha, respectivamente, como
l´ım f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 / 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − l| < ε.

x→x−0

l´ım f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 / 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − l| < ε.

x→x+
0

´ n 3.1.2. Existe l´ım f (x) = l si y s´
olo si existen ambos l´ımites laterales y l´ım f (x) =
Proposicio
x→x0

x→x−
0

l´ım f (x) = l.

x→x+
0

Por tanto si no existe alguno de los l´ımites laterales o existen pero son distintos no existe
l´ım f (x).

x→x0

´ n 3.1.6. Sean f : (a, b) ⊂ R → R y x0 ∈ (a, b). Sedice que
Definicio
l´ım f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃δ = δ(M ) > 0 / 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M.

x→x0

´ n 3.1.7. Sean f : (a, +∞) ⊂ R → R y l ∈ R. Se dice que
Definicio
l´ım f (x) = l ⇔ ∀ε > 0 ∃M = M (ε) > 0 / x ≥ M ⇒ |f (x) − l| < ε.

x→+∞

Ejercicio 3.1.1. Escribir las definiciones de l´ım f (x) = −∞, l´ım f (x) = ±∞, l´ım f (x) =
x→x0

±∞, l´ım f (x) = l y
x→−∞

l´ım

x→+±∞

x→x−
0

x→x+
0

f (x) =±∞.

´ n 3.1.8. Si l´ım f (x) = ±∞ se dice que la recta vertical x = x0 es una as´ıntota
Definicio
x→x−
0

vertical de la gr´
afica de f por la izquierda. De modo an´
alogo, si l´ım f (x) = ±∞ se dice que la
x→x+
0

recta vertical x = x0 es una as´ıntota vertical de la gr´
afica de f por la derecha.
Por otro lado, si y0 ∈ R es el l´ımite de f en ±∞ entonces la recta horizontal y = y0 es una...