t3 gv 20121
Páginas: 6 (1400 palabras)
Publicado: 10 de junio de 2015
TALLER 3
GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. 2012-1
Profesor: Jaime Andres Jaramillo González (jaimeaj@conceptocomputadores.com)
Parte del material ha sido tomado de documentos de los profesores Alberto Jaramillo, Grimaldo Oleas y Luís Hernando Gómez Valencia.
1. En cada enunciado indique con V si lo considera verdadero ó con F si lo considerafalso. Para los que considere falsos de una breve justificación o muestre un contraejemplo.
a. ( ) Si y y son no nulos, entonces y tienen la misma dirección.
b. ( ) Cualquier vector, en el espacio, puede expresarse como combinación lineal de tres vectores linealmente independientes en el espacio.
c. ( ) Dado que la magnitud de un vector nunca puede ser negativa, puede afirmarse que alsumar dos vectores, da como resultado un nuevo vector que necesariamente tiene una magnitud mayor que cualquiera de los dos originales.
d. ( ) En el espacio, si se tienen tres vectores, de los cuales al tomar dos cualquiera de ellos, se observa que no son paralelos, puede afirmarse que estos tres vectores son linealmente independientes.
e. ( ) En todo triángulo, la mediana es mayor que uno de loslados que parten de su vértice y menor que el otro.
f. ( ) Si y y son no nulos, entonces y son paralelos y
2. Demuestre que en todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de este.
3. Demuestre que si en un triángulo cualquiera se traza, desde el punto medio de uno de sus lados, una paralela aotro de ellos, ésta pasa por el punto medio del tercer lado.
4. Sea ABCD un trapecio con base mayor y base menor y sean P y Q los puntos medios de las diagonales. Probar que es paralelo a las bases del trapecio y que la longitud del segmento es
5. Demuestre que si una recta corta a dos lados de un triángulo, dicha recta divide a los dos lados en forma proporcional si y sólo si ella esparalela al tercer lado.
6. Dados 4 puntos A, B, C, D en el espacio que forman un cuadrilátero (no plano generalmente). Si E, F, G y H son los puntos medios de los cuatro lados del cuadrilátero, entonces EFGH es un paralelogramo.
7. Demuestre que un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si sus diagonales se bisecan
8. Demuestre que en un cuadrilátero cualquiera los segmentos que unen los puntosmedios de lados opuestos se bisecan.
9. Demuestre que en todo trapecio, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que contienen los lados opuestos no paralelos, son colineales.
10. Sean V1, V2, V3, …,Vn, los vértices de un polígono convexo de n lados, (n natural3). Demuestre que :
11. En un triángulo ABC sean D, E, F los puntos medios de los lados , . Probar que.
12. Demuestre que en todo triángulo, la suma de los vectores con punto inicial en los vértices y extremo final en el baricentro, es el vector nulo.
13. Demuestre que en un pentágono regular, la suma de los vectores trazados desde el centro a los vértices es el vector nulo.
14. Si A, B, C son los vértices de un triángulo cualquiera y L, M, N los puntos medios de sus lados, probar que, para todopunto O se cumple que. ¿Es posible generalizar para cualquier polígono convexo?
15. Demostrar que las medianas de un triángulo se cruzan en un punto que está a una distancia del vértice correspondiente, en cada una de ellas, de 2/3 de su longitud
16. Demuestre que en un triángulo cualquiera, los segmentos trazados desde dos de sus vértices a los respectivos lados opuestos, no pueden bisecarse.17. Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; P el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Demuestre que si O es un punto de referencia cualquiera, entonces
18. Sea CAB un triángulo cualquiera; D un punto que divide al lado en la relación 2:1, es decir: . Sea P el punto medio del segmento . Demuestre que si O es un punto cualquiera en el espacio, entonces
19. Sea...
GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. 2012-1
Profesor: Jaime Andres Jaramillo González (jaimeaj@conceptocomputadores.com)
Parte del material ha sido tomado de documentos de los profesores Alberto Jaramillo, Grimaldo Oleas y Luís Hernando Gómez Valencia.
1. En cada enunciado indique con V si lo considera verdadero ó con F si lo considerafalso. Para los que considere falsos de una breve justificación o muestre un contraejemplo.
a. ( ) Si y y son no nulos, entonces y tienen la misma dirección.
b. ( ) Cualquier vector, en el espacio, puede expresarse como combinación lineal de tres vectores linealmente independientes en el espacio.
c. ( ) Dado que la magnitud de un vector nunca puede ser negativa, puede afirmarse que alsumar dos vectores, da como resultado un nuevo vector que necesariamente tiene una magnitud mayor que cualquiera de los dos originales.
d. ( ) En el espacio, si se tienen tres vectores, de los cuales al tomar dos cualquiera de ellos, se observa que no son paralelos, puede afirmarse que estos tres vectores son linealmente independientes.
e. ( ) En todo triángulo, la mediana es mayor que uno de loslados que parten de su vértice y menor que el otro.
f. ( ) Si y y son no nulos, entonces y son paralelos y
2. Demuestre que en todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de este.
3. Demuestre que si en un triángulo cualquiera se traza, desde el punto medio de uno de sus lados, una paralela aotro de ellos, ésta pasa por el punto medio del tercer lado.
4. Sea ABCD un trapecio con base mayor y base menor y sean P y Q los puntos medios de las diagonales. Probar que es paralelo a las bases del trapecio y que la longitud del segmento es
5. Demuestre que si una recta corta a dos lados de un triángulo, dicha recta divide a los dos lados en forma proporcional si y sólo si ella esparalela al tercer lado.
6. Dados 4 puntos A, B, C, D en el espacio que forman un cuadrilátero (no plano generalmente). Si E, F, G y H son los puntos medios de los cuatro lados del cuadrilátero, entonces EFGH es un paralelogramo.
7. Demuestre que un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si sus diagonales se bisecan
8. Demuestre que en un cuadrilátero cualquiera los segmentos que unen los puntosmedios de lados opuestos se bisecan.
9. Demuestre que en todo trapecio, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que contienen los lados opuestos no paralelos, son colineales.
10. Sean V1, V2, V3, …,Vn, los vértices de un polígono convexo de n lados, (n natural3). Demuestre que :
11. En un triángulo ABC sean D, E, F los puntos medios de los lados , . Probar que.
12. Demuestre que en todo triángulo, la suma de los vectores con punto inicial en los vértices y extremo final en el baricentro, es el vector nulo.
13. Demuestre que en un pentágono regular, la suma de los vectores trazados desde el centro a los vértices es el vector nulo.
14. Si A, B, C son los vértices de un triángulo cualquiera y L, M, N los puntos medios de sus lados, probar que, para todopunto O se cumple que. ¿Es posible generalizar para cualquier polígono convexo?
15. Demostrar que las medianas de un triángulo se cruzan en un punto que está a una distancia del vértice correspondiente, en cada una de ellas, de 2/3 de su longitud
16. Demuestre que en un triángulo cualquiera, los segmentos trazados desde dos de sus vértices a los respectivos lados opuestos, no pueden bisecarse.17. Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; P el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Demuestre que si O es un punto de referencia cualquiera, entonces
18. Sea CAB un triángulo cualquiera; D un punto que divide al lado en la relación 2:1, es decir: . Sea P el punto medio del segmento . Demuestre que si O es un punto cualquiera en el espacio, entonces
19. Sea...
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