T4 Trigonometria


Un poco de historia...
La trigonometría es una de las ramas más antiguas de la Matemática. Los egipcios ya conocían algunas relaciones, que debieron utilizar en los cálculos para construir sus pirámides. Los estudios que realizaron los babilonios en astronomía, sentaron bases para estudios posteriores que permitieron a los griegos, entre ellos a Hiparco, hacia el siglo II AC, hacer unestudio sistemático de las relaciones entre los lados de un triángulo y sus ángulos. Esta rama de la matemática creció considerablemente con los indios y fundamentalmente, con los árabes en el siglo X. El Renacimiento y la revolución copernicana contribuyeron al reconocimiento de su importancia y a su difusión. Además de la astronomía, la navegación, la agrimensura, la cartografía.., fuerontambién fuentes de motivación para su desarrollo.

Considerar un ángulo agudo . Se traza PQ perpendicular a uno de los lados del ángulo de modo que resulta un triángulo rectángulo.


Trazar una paralela a PQ que corte a los lados del ángulo en P’ y Q’ respectivamente.
Los triángulos y son semejantes. ¿Por qué? ……………………………………………………………..
Por lo tanto podemos afirmar que estoresulta equivalente a: es decir la razón entre la medida del cateto opuesto de y la medida de la hipotenusa es la misma. Esta razón depende sólo de la medida del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo rectángulo considerado.


El cociente entre la longitud del cateto opuesto a un ángulo y la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se llama seno del ángulo.Definiciones:
Dado el triángulo ABC rectángulo en A, si consideramos el ángulo agudo C, resulta que es el cateto opuesto del ángulo C y es el cateto adyacente a dicho ángulo.

Se definen:






Para calcular las funcionestrigonométricas de los distintos ángulos se puede utilizar la calculadora científica donde aparecen las teclas:


Verificar que el modo sea DEG (degrees=grados sexagesimales) ya que la calculadora tiene distintos sistemas de medición angular.


Las recíprocas de las razones anteriormente definidas se denominan:





¿Cómo calcular la medida de un ángulo agudo si se conoce una de sus funcionestrigonométricas?
Ejemplo:
Se sabe que y queremos calcular
Con la calculadora: 0,7071067= 45

Es decir que
En algunas calculadoras, la tecla “INV” se reemplaza por “2ND”(second function) o por la tecla “SHIFT”.


Ejercicios

1. En un triángulo rectángulo con ángulos agudos de60º y 30º respectivamente, puede completarse por simetría un triángulo equilátero como muestra el dibujo:


Teniendo en cuenta que el cateto adyacente al ángulo de 60º mide la mitad de lo que mide la hipotenusa, calcular, sin hacer aproximaciones, el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de 60º y 30º.




2. Demostrar que:a) para todo ángulo agudo.
b) para todo ángulo agudo.

3. Sin hallar la medida de y sabiendo que:
a) calcular y
b) calcular y
c) calcular y

4. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal en el momento que una persona de de 1,82m de altura proyecta una sombra de 1,65 metros?

5. Calcular el perímetro y el área de un triánguloisósceles si cada uno de los ángulos congruentes mide 27° y cada uno de los lados congruentes, 40 metros.

6. Las diagonales de un rombo miden 16cm y 10 cm .¿Cuánto miden sus ángulos?

7. Las hojas de una tijera tienen 12 cm de largo y forman un ángulo de 26 . ¿Cual es la separación de las hojas en las puntas?

8. Desde lo alto de una torre, a 34m del piso, se distingue una embarcación...