T6 Funciones Varias Variables

Cap´ıtulo 6

Funciones de varias variables reales
6.1.

Introducci´
on

En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o m´as variables, por ejemplo:
w = F · D (Trabajo realizado por una fuerza)
V = πr2 h (Volumen de un cilindro circular recto)
V = xyz (Volumen de un solido rectangular)
z = ex + sen(y) = f (x, y)
w = f (x, y, z) = x2 + 3yz
´ n 6.1.1. Una funci´
Definicio
on
f : D ⊂ Rn→ R
(x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R
se dice que es una funci´
on de n variables reales con valores reales. El dominio de f es D ⊂ Rn
y su imagen el conjunto {f (x1 , x2 , . . . , xn ) : (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn } ⊂ R.
La manera m´
as habitual de describir una funci´on de varias variables es mediante una
ecuaci´on. A menos que se diga lo contrario el dominio de lafunci´on ser´a el mayor conjunto
de puntos para el que la ecuaci´
on est´
a definida.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de
una variable:
1

2

CAP´ıTULO 6. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
(f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y)
(f · g)(x, y) = f (x, y) · g(x, y)
(f /g)(x, y) =

f (x,y)
g(x,y)

(Suma o diferencia).
(Producto).

si g(x, y) = 0(Cociente).

Si f (x, y), g(z) y Rango(f ) ⊂ Dom(g)
(g ◦ f )(x, y) = g(f (x, y)) (Funci´
on compuesta).

6.1.1.

Gr´
aficas y curvas de nivel

La gr´afica de una funci´
on de dos variables f (x, y) es el conjunto de todos los puntos (x, y, z)
tales que z = f (x, y) para (x, y) ∈ Dom(f ). La gr´afica de f (x, y) es una superficie en el espacio.
Ejemplo 6.1.1. Representar la gr´
afica de la funci´
on f (x,y) =

Figura 6.1: Gr´
afica de f (x, y) =

16 − 4x2 − y 2 .

16 − 4x2 − y 2

Otra forma de obtener informaci´
on gr´afica acerca de una funci´on son las curvas de nivel.
´
Estas
se obtienen intersecando la gr´
afica de f (x, y) (cuya ecuaci´on es z = f (x, y)) con planos
horizontales (de ecuaci´
on z = c, c ∈ R), es decir, intersecando
z = f (x, y), (Gr´afica de f ),
z = c,
(Plano horizontal dealtura c).
Por tanto la ecuaci´
on impl´ıcita de cada curva de nivel viene dada por
f (x, y) = c.
Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel. Cada curva de nivel une los puntos
del plano en los que f toma el mismo valor.

´ DE DOS VARIABLES
6.2. L´ıMITE DE UNA FUNCION

Figura 6.2: Curvas de nivel de f (x, y) =

3

16 − 4x2 − y 2

´ n 6.1.1. Si f (x, y, z) es una funci´Observacio
on de tres variables entonces la ecuaci´
on f (x, y, z) =
c determina sus superficies de nivel.
Ejemplo 6.1.2. Algunas de las curvas de nivel m´
as conocidas son las siguientes:
1. Isobaras: curvas de nivel de la funci´
on presi´
on atmosf´erica
2. Isotermas: curvas de nivel de la funci´
on presi´
on temperatura
3. L´ıneas equipotenciales: curvas de nivel de la funci´
on potencial el´ectrico.4. L´ıneas topogr´
aficas: curvas de nivel de la funci´
on altitud con respecto al mar.
Ejercicio 6.1.1. Dibujar las curvas de nivel de la funci´
on f (x, y) = y 2 − x2 .

6.2.

L´ımite de una funci´
on de dos variables

Utilizaremos la siguiente notaci´
on
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) :=

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ,

B((a, b), r) := {(x, y) ∈ R2 : d((x, y), (a, b)) < r}.
Si D ⊂ R2 y (a, b) ∈ Ddiremos que (a, b) es un punto interior (a, b) ∈ int(D) si existe
r > 0 tal que B((a, b), r) ⊂ D. Diremos que D es un conjunto abierto si todos sus puntos son
interiores.

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CAP´ıTULO 6. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

´ n 6.2.1 (L´ımite de una funci´on de dos variables). Si f : D ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ int(D)
Definicio
y L ∈ R entonces
l´ım f (x, y) = L
(x,y)→(a,b)

significa que
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) >0 / 0 < d((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε
´ n 6.2.1. La principal diferencia con el c´
Observacio
alculo de l´ımites de una variable es que para
determinar si una funci´
on f (x) tiene l´ımite cuando x → a s´
olo se necesita comprobar que pasa
cuando x → a− y cuando x → a+ . Sin embargo en el caso de una funci´
on de dos variables la
expresi´
on
(x, y) → (a, b)
significa que (x, y)...