T8 Aplicaciones De Las Derivadas

APLICACIONES
DE LAS
DERIVADAS

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Aplicaciones de la Derivada
 Aplicaciones de la Primera Derivada
Monotonía (Crecimiento/Decrecimiento)
Extremos relativos (Máximos – Mínimos)

 Aplicaciones de la Segunda Derivada
Curvatura (Concavidad/Convexidad)
Puntos de inflexión

 Representación gráfica de funciones
 Optimización

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Crecimiento/Decrecimiento
Una función f es creciente en (a, b) si f (x1) < f (x2)
cuando x1 < x2.
Una función f es decreciente en (a, b) si f (x1) > f (x2)
cuando x1 < x2.
Creciente

Decreciente

Creciente

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Derivada y monotonía de una función
Si f (a) > 0  f es estrictamente creciente en x = a.
Si f (a) < 0  f esestrictamente decreciente en x = a.

Recta tangente
con pendiente
positiva, m > 0

Recta tangente
con pendiente
negativa, m < 0

m = f (1) > 0

m = f (–1) < 0
Función decreciente en x = –1

Función creciente en x = 1

f (0) = 0

No es creciente ni decreciente
en x = 0.

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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Si f (x) > 0 para cada valorde x
en un intervalo (a, b), entonces f
es creciente en (a, b)

Si f (x) < 0 para cada valor de x
en un intervalo (a, b), entonces f
es decreciente en (a, b)

Si f (x) = 0 para cada valor de x
en un intervalo (a, b), entonces f
es constante en (a, b)

Pendiente
positiva

f (x) > 0 en a < x < b 
f(x) es creciente en (a, b)

f (x) < 0 en a < x < b 
f(x) es decreciente en (a, b)

Pendientenegativa

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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
La función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa, en un punto
x = a en una de las situaciones siguientes:

f es discontinua en x = a

f (a) = 0

Máximo

Mínimo

Por tanto, bastará estudiar los intervalos determinados por estos puntos
para obtener los intervalos de crecimiento ydecrecimiento.

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Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Diagrama de signos para determinar los intervalos
donde f (x) es Crec./Decr.:
1. Hallar todos los valores de x para los cuales f (x) = 0 o f (x) es
discontinua e identificar intervalos abiertos con estos puntos.
2. Prueba un punto c en cada intervalo para obtener el signo de f (c).

a. Si f (x) >0, f es creciente en ese intervalo.
b. Si f (x) < 0, f es decreciente en ese
intervalo.

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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
EJEMPLO

Determina los intervalos de crecimiento de la función

f(x) = x3 – 6x2 + 1
f (x) = 3x2 – 12x
Resuelve la ecuación f (x) = 0 :
3x2 – 12x = 0
3x(x – 4) = 0
f ’(x) es un polinomio, luego no tieneCalcula la derivada de la función:

puntos de discontinuidad; así que los
intervalos a considerar son:

(–, 0)

(0, 4)

Prueba un punto c en cada
intervalo para obtener el f (–1) = 3(–1)2 – 12(–1)
signo de f (c).
= 15 > 0

Signo de f (x)

(4, +)

f (1) = 3·12 – 12·1
= –9 < 0

+

f es creciente
en (–, 0)

3x = 0
 x1 = 0
x – 4 = 0  x2 = 4

f (5) = 3·52 – 12·5
= 15 > 0

–

0

f es creciente en(–, 0)  (4, +)

f es decreciente
en (0, 4)

+

4

f es creciente
en (4, +)

f es decreciente en (0, 4)

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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
EJEMPLO
Resolvemos
la ecuación

f (x) = 0


x2  4
f ( x) 
x

Determina los intervalos de crecimiento de

x2  4
f ( x)  2
x

x2  4
2

0

x
–4=0
2
x

x = –2

x=2
Determinamos los puntosde discontinuidad de f : x =
0Consideramos los intervalos determinados por las soluciones
de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :

(–, –2),
f (–3) = 5/9 > 0

Signo de
f

+

(–2, 0),

(0, 2),

(2, +)

f (–1) = –3 < 0

f (1) = –3 < 0

f (3) = 5/9 > 0


–2

f es creciente en (–, –2)  (2, +)

–


0

–


2

+

f es decreciente en (–2, 0)  (0, 2)

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