Tabla de integrales

1 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1

Repaso de integraci´
on
1.

Tabla de integrales inmediatas

xn dx =

xn+1
+ C, si n = −1
n+1

f (x)n · f (x) dx =

1
dx = ln |x| + C
x

1
· f (x) dx = ln |f (x)| + C
f (x)

ex dx = ex + C

ef (x) · f (x) dx = ef (x) + C

ax dx =

ax
+C
ln a

af (x) · f (x) dx =

af (x)
+C
ln a

sen x dx = − cos x + C

sen (f (x)) · f(x) dx = − cos (f (x)) + C

cos x dx = sen x + C

cos (f (x)) · f (x) dx = sen (f (x)) + C

tan x dx = − ln | cos x| + C

tan (f (x)) · f (x) dx = − ln | cos (f (x)) | + C

ctan x dx = ln | sen x| + C

ctan (f (x)) · f (x) dx = ln | sen (f (x)) | + C

1
dx = tan x + C
cos2 x

1
· f (x) dx = tan (f (x)) + C
cos2 (f (x))

1
dx = −cotan x + C
sen2 x
√

sen2

1
dx = arcsen x + C
1 − x2

1
dx = arctan x + C
1 + x2

0 Dpto.

f (x)n+1
+ C, si n = −1
n+1

Matem´
atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

1
· f (x) dx = −cotan (f (x)) + C
(f (x))
1

1 − f (x)2

· f (x) dx = arc sen (f (x)) + C

1
· f (x) dx = arctan (f (x)) + C
1 + f (x)2

´
´ POR PARTES
2 FORMULA
DE INTEGRACION

2.

2

F´
ormula de integraci´
on por partesudv = uv −

vdu

La f´ormula de integraci´on por partes es aplicable cuando el integrando se puede expresar como producto de dos funciones, una de las cuales, dv, tiene integral inmediata y la otra, u, al derivarla, nos
conduce a una funci´on, du, de modo que el nuevo integrando vdu sea m´as sencillo.
Ejemplo 1. Hallar la integral

x cos x dx.

Resoluci´
on.
x cos x dx =

u=x
dv =cos x dx

du = dx
v = − sen x

Ejemplo 2. Hallar la integral

=

−x sen x −

− sen x dx = −x sen x − cos x + C

x2 ex dx.

Resoluci´
on.
x2 ex dx

=

u = x2
dv = ex dx

du = 2x dx
v = ex

=

u = 2x
dv = ex dx

du = 2 dx
v = ex

Ejemplo 3. Hallar la integral
Resoluci´
on. Denotemos por I =
I=

ex cos x dx

= x2 ex −

= x2 ex − 2xex −

2ex dx

ex cos xdx.

u = cos x
dv = ex dx

=

u = sen x
du = cos x dx
dv = ex dx
v = ex

du = − sen x dx
v = ex

= ex cos x +

Despejando I, tenemos que

0 Dpto.

ex cos x dx =

Matem´
atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

ex sen x dx

= ex cos x + ex sen x −

ex (cos x + sen x) − I + C

I=

= x2 − 2x + 2 ex + C

ex cos x dx.

=

=

2xex dx

1 x
e (cos x + sen x) +C
2

ex cos x dx

´
´ POR PARTES
2 FORMULA
DE INTEGRACION

Ejemplo 4. Hallar la integral

3

ln x dx.

Resoluci´
on.
ln x dx =

u = ln x
dv = dx

1
dx
x
v=x

du =

=

x ln x −

1
x dx = x ln x − x + C
x

Consejos para elegir u y dv.
(1) Se debe comenzar por elegir dv. Para ello, en la escala de prioridades, la exponencial siempre tiene
preferencia, seguidade las funciones trigonom´etricas “senoτ “coseno”.
(2) Si en el integrando aparece una exponencial (que tenga primitiva), entonces se asigna dv a la
exponencial.
(3) Si en el integrando aparece un “seno.o “coseno”, entonces se le asigna tambi´en el dv, excepto
cuando aparecen ambos (la exponencial y el “seno.o “coseno”), como es el caso del Ejemplo 3.
(4) En general, a los polinomios se lesdebe asignar u, puesto que si le asignamos dv, cuando se integra
el polinomio para calcular v, el resultado que se obtiene es un polinomio de un grado superior. No
obstante, esta regla tiene excepciones, como la del Ejemplo 4. en este ejemplo, no hay ninguna funci´on
que sea f´acilmente integrable, por lo que no nos queda otro remedio que asignar dv al polinomio 1
multiplicado por dx.

0Dpto.

Matem´
atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

3.

4

Integrales de funciones racionales
En esta secci´on nos planteamos calcular integrales del tipo

polinomios en x.

P (x)
dx, donde P (x) y Q(x) son dos
Q(x)

NOTA IMPORTANTE. Si el grado del polinomio P (x) es mayor que el del polinomio Q(x),
entonces siempre podemos efectuar...