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1.3. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales a).- Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

La estructura de una ecuación lineal es la siguiente:
a1x1+a2x2+....+anxn=bDonde a1, a2,...., an, son números reales llamados coeficientes, x1,x2,...., xn son variables con exponente uno y b es el término independiente.

Un sistema de ecuaciones lineales es unconjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas, las cuales tienen en común algunas o todas las variables, que se satisfacen simultáneamente.
El siguiente sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas.
a11x1 + a12x2 +....+a1nxn=b1a21x1 + a22x2 +....+a2nxn=b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
am1x1+am2x2+....+amnxn=bmEn el sistema de ecuaciones anterior aijson números reales llamados coeficientes del sistema, los valores  bm son números reales, llamados términos independientes, las incógnitas  xj son las variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales s1, s2, ...,sn tales que al sustituir las incógnitas  x1, x2, ...,xn  por los valores  s1, s2, ...,sn   se verifican todas las  m ecuaciones del sistema.b).- Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en No Homogéneo y Homogéneo. Los sistemas de ecuaciones lineales No Homogéneo tienen b≠0 mientras que los sistemas de ecuaciones Homogéneos lineales tienen en todas las ecuaciones el término b=0.
Un ejemplo de un sistema de ecuacioneslineales No Homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas es:
x1+ 10 x2=10-2x1+x2=-15 Un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales No Homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas es:
x1 + x2- 9x3=-10-2x1+ x2 - 5x3 =3 3x1-4x2+ 6x3= 8 Un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales Homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas es:
3x1+5x2=0-x1 + 8x2=0 Un ejemplo de unsistema de ecuaciones lineales Homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas es:
5x1+x2+ 6x3=0-2x1+5x2 -x3= 0 3x1+2x2+7x3= 0
Los tipos de solución son tres para el sistema de ecuaciones lineales No Homogéneo:
UNA SOLUCION UNICA (Sistema consistente).
NÚMERO INFINITO DE SOLUCIONES (Sistema consistente).
SIN SOLUCION (Sistema Inconsistente).
Los tipos desolución son dos para el sistema de ecuaciones lineales Homogéneo:
SOLUCION TRIVIAL (llamada así porque todos los sistemas de ecuaciones Homogéneos lo tienen y es cuando x1=x2=,...., =xn=0)
SOLUCION NO TRIVIAL (es cuando al menos una variable xn≠0), (Sistema consistente).
Nota: Los sistemas homogéneos siempre tienen solución ( Al menos la trivial)
c).- Interpretación geométrica de lassoluciones.
Iniciamos este tema con la interpretación geométrica de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales No Homogéneos con dos incógnitas, continuando luego con los sistemas de ecuaciones lineales Homogéneos con dos incógnitas.
Al graficar las dos ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales No Homogéneo , se puede presentar cualquiera de las siguientes opciones:
Tipode solución Características de la gráfica Gráfica
Una solución única Se cruzan en un solo punto, es la solución X
Número Infinito de soluciones Se ve una sola línea, todos los puntos son solución ΙSin solución Se ven dos líneas paralelas ∥ Veamos un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones lineales No Homogéneo que tenga dos incógnitas con una solución única:
3x1-2x2=10 x1+4x2=8 Elsistema tiene una solución única: x1=4 y x2=1 .(Compruébelo sustituyendo en cada ecuación los valores)
Si graficamos se obtienen dos líneas con intersección en el punto (4, 1),como se observa en la gráfica.

Ahora se presenta un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones lineales No Homogéneo que tenga dos incógnitas con un Número Infinito de soluciones:
5x1-10x2 = 25 x1- 2x2 =5...