Tabla Decr Mc3balt Desarrollo

CONCEPTUALIZACIÓN MODERNA
TABLA DE
DECREMENTOS MÚLTIPLES
(Continuación)
HIPÓTESIS RELATIVA A LATASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD (5º parte)
Oscar Aranda M
UNAM, Fac. Ciencias
28 Septiembre, 2011
If you are out to describe the truth, leave elegance to the tailor.
. Albert Einstein

Los desarrollos presentados a mediados del siglo XIX por Antoine Augustin Cournot
y William Matthew Makeham, centran suestudio exclusivamente en el concepto de
mortalidad, producida por la causa (k) de decremento e independiente de otras causas,
sin embargo, tiempo después se observó que el modelo se puede ampliar para
proponer una teoría generalizada, donde al establecer varias causas de “salida” (k),
diferentes e independientes de un colectivo o grupo de personas, el concepto de
“muerte” sólo formará parte deuna causa; estableciendo así el concepto de
“remoción” o “salida” de la persona de edad x dada la causa (k).
Por lo tanto, si referimos a lz(τ ) , como el grupo expuesto a (τ ) causas de decremento,
diferentes e independientes, “sin particularizar quienes ya están predestinados a la
causa k de decremento”, como sucedía en los desarrollos anteriores; es válido
entonces, considerar la expresión (L),al indicar la probabilidad de que la persona de
edad x, expuesto a (τ ) causas de decremento a cada t-ésimo de tiempo, éste sea
“removido” exclusivamente por la causa (k), en el periodo de n-años, es decir.
n

(k )

n

qx = ∫ t px(τ ) ⋅µ x( k ) (t )dt
0

(k )

En particular, la función µ x (t ) es el punto de partida para graduar el efecto de
“salida” o “remoción”; al redefinir la expresión(XLVIII), con z = x + t , t ≥ 0 , se tiene

µ x( k ) (t ) = −

1 d (k )
lx +t
lx +t dt
(τ )

(LI)

En virtud de que la única información disponible de la población en estudio es anual,
se establece la hipótesis que ésta, sigue una distribución uniforme de “salidas” o
“remociones” por cada causa (k), por lo tanto, la mejor aproximación para lx( k+)t ,
∀ t ∈ [ 0,1] , se obtiene mediante interpolaciónlineal, donde,
lx( +)t ≅ lx( ) − t ⋅ d x(
k

Oscar Aranda M

k

41

k)

(LII)
Fac. Ciencias UNAM

d x( k ) , representa el número de “salidas” entre las edades (x) y (x+1) originado por la
causa (k) de decremento.

al sustituir la expresión (LII) en (LI)

µ x( k+)t = −
=−

(

1 d (k )
k
lx − t ⋅ d x( )
lx +t dt
(τ )

1
(τ )

lx +t

( −d ( ) )
k

(LIII)

x

d x( )
;
τ
lx( +)t
k

=

)

∀ t ∈ [ 0,1]

eintegrando con respecto al tiempo en el rango anual de estudio
d x( )
∫0 µ x+t dt = ∫0 l (τ ) dt
x +t
1

1

(k )

k

(LIV)

Al considerar los mismos supuestos de la función lx( k+)t para la función lx(τ+)t , se redefine
la expresión anterior, como
1

1

(k )
(k )
∫ µ x+t dt = d x ∫
0

l

1
dt
− t ⋅ d x(τ )

(τ )

0 x

considerando el cambio de variable

u = lx( ) − t ⋅ d x(
τ

τ)

y du = − d x(τ )dt , se obtiene
1

(k )
∫ µ x+t dt =
0

d x( k ) − d x(τ )
dt
−d x(τ ) ∫0 lx(τ+)t

=−

1

d x( k )  (τ ) 1
ln lx +t 
t =0
d x(τ ) 

d x( k )
= − (τ ) ln px(τ )
dx
d x( )
(τ )  (τ )
d
k

= − ln  px 

Oscar Aranda M

(LV)

x

42

Fac. Ciencias UNAM

Al considerar en la expresión (XLIII), el cambio de variable z = x + t , con t ∈ [ 0,1] y
al sustituir en la expresión (XLIV)
(τ )

px

 1(1)

m
2
= exp  − ∫ µ x +t + µ x( +)t + ⋅⋅⋅ + µ x( +t) dt 
 0


(

)

1
1
 1 (1)

m
( 2)
= exp  − ∫ µ x +t dt − ∫ µ x +t dt − ⋅⋅⋅ − ∫ µ x( +t) dt 
0
0
 0


 1 (1)   1 ( 2) 
 1 ( m) 
= exp  − ∫ µ x +t dt   − ∫ µ x +t dt  + ⋅⋅⋅ +  − ∫ µ x +t dt 
 0
 0

 0


(LV.a)19

= p '(x ) ⋅ p '(x ) . p '(x ) ⋅⋅⋅ p '(x
1

2

m

m)

3

= Π p '(x )
k

k =1

Donde p '(xk ) , representa laprobabilidad anual e independiente de “permanencia”
en el grupo para una persona de edad x, dada la causa (k) de decremento, en
particular.
(k )

p 'x

 1 (k ) 
= exp  − ∫ µ x +t dt 
 0


(LVI)

Su complemento, simbolizado por q '(xk ) , representa la probabilidad anual e
independiente de “salida” o “remoción” en el grupo para una persona de edad (x),
dada la causa (k) de decremento, “sin...