Tablas De Contingencia (Probabilidad Y Estadistica)

lasRegla de decisión:
Si X 2R≤ 7.815 no se rechaza Ho .
Si X 2R >7.815 se rechaza Ho .
Cálculos:
K

X =∑
2

j =1

(o

− ej)

2

j

ej

=

(7 − 8 .5904 )2 (15 − 10.2936 )2 (10 − 10 .6724 )2 (8 − 10.4434 )2
8.5904

+

10.2936

+

10.6724

+

10.4434

= 3 .06

Justificación y decisión:
Como el 3.06 no es mayor de 7.815, no se rechaza H0 y se concluye con unα = 0.05 que el ajuste de los datos a una distribución normal es bueno.
TABLAS DE CONTINGENCIA
En muchas ocasiones, los n elementos de una muestra tomada de una
población pueden clasificarse con dos criterios diferentes. Por tanto, es
interesante saber si los dos métodos de clasificación son estadísticamente
independientes. Supóngase que el primer método de clasificación tiene r niveles,
yque el segundo tiene c niveles. O sea O ij la frecuencia observada para el nivel i
del primer método de clasificación y el nivel j del segúndo método de
clasificación. En general, los datos aparecerán como se muestra en la siguiente
tabla. Una tabla de este tipo usualmente se conoce como tabla de contingencia
r x c.
Columnas

Renglones

1
2
.
.
.
r

1
O11
O21
.
.
.
Or1

2O12
O22
.
.
.
Or2

...
...
...
.
.
.
...

c
O1c
O2c
.
.
.
Orc

El interés recae en probar la hipótesis de que los dos métodos de clasificación
renglón-columna son independientes. Si se rechaza esta hipótesis, entonces se
concluye que existe alguna interacción entre los dos criterios de clasificación.
Los procedimientos de prueba exactos son difíciles de obtener, pero puedeobtenerse un estadístico de prueba aproximado válido para n grande.
Sea pij la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar caiga el la
ij-ésima celda, dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces,

pij=ui vj, donde ui es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar
pertenezca al renglón de la clase i, y vj es la probabilidad de que un elementoseleccionado pertenezca a la columna de la clase j. Ahora bien, si se supone
independencia, los estimadores de ui y vj son:

1c
O
n ∑ ij
j =1
1r
ˆ
v j = ∑ Oij
n i =1
Por lo tanto, la frecuencia esperada de la celda es:
r
1c
ˆˆ
Eij = nu i v j = ∑ Oij ∑ Oij
n j=1
i =1
Entonces, para n grande, el estadístico
r
c (O − E )2
ij
ij
2
X = ∑∑
Eij
i =1 j =1
ˆ
ui =

tiene unadistribución aproximada ji-cuadrada con (r-1)(c-1) grados de libertad si
la hipótesis nula es verdadera. Por consiguiente, la hipótesis de independencia
debe rechazarse si el valor del estadístico de prueba X2 calculado es mayor que
X2 crítico o de tabla.
Ejemplos:
1. Una asociación de profesores universitarios quiere determinar si la
satisfacción en el trabajo es independiente del rango académico. Paraello
realizó un estudio nacional entre los académicos universitarios y encontró los
resultados mostrados son la tabla siguiente. Con α =0.05, haga una prueba
para saber si son dependientes la satisfacción en el trabajo y el rango.
Rango
Profes
Profesor
Instructor
Profesor
or
asociado
Satisfacción
en el
trabajo

Mucha
Regular
Poca

40
78
57

asistente
60
87
63

52
8266

Solución:
Ho; La satisfacción en el trabajo y el rango son independientes.
H1; La satisfacción en el trabajo y el rango son dependientes.
Grados de libertad: (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1)=(2)(3) = 6
Ho

H1
Región de
rechazo
α=0.05
Región de
aceptación
X2 (0.05,6) = 12.592

63
88
64

Regla de decisión:
Si X 2R≤ 12.592 no se rechaza Ho .
Si X 2R > 12.592 se rechaza Ho .
Seprocederá a calcular los valores esperados de cada celda. Como los grados
de libertad son 6, esto quiere decir que necesitamos calcular únicamente 6
frecuencias esperadas, y las faltantes se encuentran por diferencia.
Se calcularán los valores esperados E 11, E12, E13, E21, E22 y E 23.
Como se necesitan los totales de renglón y columna se mostrarán en la tabla:
Rango
Profe
sor

Instructor...