Tablas de exame

mPropiedad Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugaci´n o Inversi´n temporal o Se˜ al n
+∞ k=−∞

Se˜ al Aperi´dica n o ax(t) + by(t) x(t − t0 ) ejω0 t x(t) x∗ (t) x(−t) x(at) x(t) ∗ y(t) x(t)y(t)
d dt x(t) t x(τ )dτ −∞

Transformada de Fourier aX(ω) + bY (ω) e−jωt0 X(ω) X(ω − ω0 ) X ∗ (−ω) X(−ω)
1 |a| X ω a

Transformada de Fourier
+∞

Coef. serie deFourier (si es peri´dica) o

Escalado Convoluci´n o Multiplicaci´n o Diferenciaci´n en tiempo o Integraci´n o Diferenciaci´n en frecuencia o Relaci´n de Parseval o
+∞ −∞

X(ω)Y (ω)
1 2π X(ω)

ak ejkω0 t

2π
k=−∞

ak δ(ω − kωo )

ak a1 = 1 ak = 0 k = 1 a1 = a−1 =
1 2 1 2j

∗ Y (ω) + πX(0)δ(ω)

jωX(ω)
1 jω X(ω) d j dω X(ω)

ejω0 t cos ω0 t sin ω0 t 1 Onda cuadrada peri´dica ox(t) = 1, |t| < T1 0, T1 < |t| ≤
T 2

2πδ(ω − ω0 ) π [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]
π j

tx(t) |x(t)|2 dt =
1 2π +∞ −∞

ak = 0, con otro valor a1 = −a−1 = a0 = 1 ak = 0 k = 0 ak = 0, con otro valor

|X(ω)|2 dω

[δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )]

Tabla 2: Propiedades de la Transformada de Fourier

2πδ(ω)

+∞ k=−∞

2 sin kω0 T1 δ(ω k

− kω0 )

sin kω0 T1 kπ

=

ω 0 T1 π sinc

kω0 T1 πx(t + T ) = x(t)
+∞

δ(t − nT )
n=−∞

2π T

+∞

Propiedad δ ω−
2πk T

Se˜ al peri´dica n o x(t) y(t) Periodo T (ω0 =
2π T )

Coef. Serie de Fourier ak bk Aak + Bbk ak e−jkω0 t0 ak−M a∗ −k ak T a k bk
+∞

ak = -

k=−∞

1 T

para todo k Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugaci´n o Escalado temporal Convoluci´n Peri´dica o o Multiplicaci´no Diferenciaci´n o Integraci´n o

x(t) =
sin W t πt

1, |t| < T1 0, |t| > T1

2 sin ωT1 ω

Ax(t) + By(t) x(t − t0 ) ejM ω0 t x(t) x∗ (t) x(αt), α > 0 Peri´dica con periodo T /α o
T

X(ω) = 1
1 jω

1, |ω| < W 0, |ω| > W

-

δ(t) u(t) δ(t − t0 ) e−at u(t), {a} > 0 te
−at

+ πδ(ω)

-

e−jωt0
1 a+jω 1 (a+jω)2 1 (a+jω)n

x(τ )y(t − τ )dτ

u(t), {a} > 0 {a} > 0x(t)y(t)
l=−∞ d dt x(t) t x(τ )dτ −∞

al bk−l jkω0 ak (Finita y peri´dica o
1 jkω0

tn−1 −at u(t), (n−1)! e

ak

Tabla 1: Pares B´sicos de Transformadas de Fourier a Simetr´ Conjugada ıa Relaci´n de Parseval o

s´lo si a0 = 0) o x(t) real
1 T +∞ −∞

a k = a∗ −k |ak |2

T

|x(t)|2 dt =

Tabla 3: Propiedades de la Serie Continua de Fourier

1

2

Propiedad Linealidad Se˜ al n akejk(2π/N )n
k=

Se˜ al Aperi´dica n o ax[n] + by[n] x[n − n0 ] ejΩ0 n x[n] x∗ [n] x[−n] x(k) [n] x[n] ∗ y[n] x[n]y[n] x[n] − x[n − 1]
n

Transformada de Fourier aX(Ω) + bY (Ω) e−jΩn0 X(Ω) X(Ω − Ω0 ) X ∗ (−Ω) X(−Ω) X(kΩ) X(Ω)Y (Ω)
1 2π X(Ω)

Transformada de Fourier
+∞ 2π N k)

Coef. serie de Fourier (si es peri´dica) o

Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugaci´no Inversi´n temporal o

2π
k=−∞

ak δ(Ω −

ak (a) Ω0 =
2πm N

Expansi´n en tiempo o Convoluci´n o Multiplicaci´n o Diferenciaci´n en tiempo o Acumulaci´n o

ejΩ0 n

2πδp (Ω − Ω0 )

ak = (b)
Ω0 2π

1, k = m ± lN, l = 0, 1, ... 0, otro valor irracional ⇒ la se˜al es aperi´dica n o
2πm N 1 2,

Y (Ω) + πX(0)δp (Ω)

(1 − e−jΩ )X(Ω)
1 1−e−jΩ X(Ω)

(a) Ω0 = cos Ω0 n π [δp (Ω −Ω0 ) + δp (Ω + Ω0 )] ak = (b)
Ω0 2π

x[k]
k=−∞

k = ±m ± lN, l = 0, 1, ... otro valor

0,

Diferenciaci´n en frecuencia o Relaci´n de Parseval o
+∞ n=−∞

nx[n]
1 2π

j dX(Ω) dΩ |X(Ω)|2 dΩ

irracional ⇒ la se˜al es aperi´dica n o k = m ± lN, l = 0, 1, ... k = −m ± lN, l = 0, 1, ... otro valor

sin Ω0 n

π j

[δp (Ω − Ω0 ) − δp (Ω + Ω0 )]

(a) Ω0 = 2πm  N  1  2j ,  ak= −1,  2j (b)
Ω0 2π

|x[n]|2 =

2π

  0,

Tabla 5: Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto

irracional ⇒ la se˜al es aperi´dica n o

1 Onda cuadrada peri´dica o x[n] = 1, |n| ≤ N1 0, N1 < |n| ≤
N 2

2πδp (Ω)

ak =

1 k = 0, ±N, ±2N, ... 0 otro valor Propiedad Se˜ al peri´dica n o x[n] y[n] Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia...