Tablas de Verdad y Propiedades de las Operaciones de los Números Naturales y Enteros

Conectivos Lógicos y Tablas de la Verdad
Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad. A continuación hay unatabla con las conectivas más usuales y su definición mediante tablas de verdad
Conectiva Notación Ejemplo
de uso Análogo
natural Ejemplo de uso en
el lenguaje natural Tabla de verdad
Negación No No está lloviendo.
Conjunción Y Está lloviendo y es de noche.
Disyunción O Está lloviendo o es de noche.
Condicional material si... entonces Si está lloviendo, entonces es denoche.
Bicondicional si y sólo si Está lloviendo si y sólo si es de noche.
Negación
conjunta ni... ni Ni está lloviendo ni es de noche.
Disyunción
excluyente] o bien... o bien O bien está lloviendo, o bien es de noche.

Otras conectivas:
Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas lasfunciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 18 conectivas binarias posibles

Donde:
• es una tautología.
• es la disyunción.
• es el condicional material inverso.
• es el condicional material.
• es el bicondicional.
• es la conjunción.
• es lanegación alternativa, incompatibilidad, o "NAND".
• es la disyunción exclusiva, contra valencia o "XOR".
• es la negación del condicional material.
• es la negación del condicional inverso.
• es la negación conjunta, o "NOR".
• es una contradicción.



La Negación
La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad deverdad.
P ¬p
V F
F V

Ejemplo: Encuentre la negación de las expresiones siguientes:
) Algún elefante es de color rosa
v) Ningún pez respira fuera del agua
vi) Todos los leones son feroces

Solución:
) Ningún elefante es de color rosa
v) Algún pez respira fuera del agua
vi) Algún león no es feroz

Nota: Las tres últimas proposiciones se derivan de proposiciones abiertas que veremos en lasección 1.4 Cálculo de Predicados Definición.
La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
P q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F

La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultánea mente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para losnúmeros positivos, utilizamos
p ^ q, donde
p: la función es creciente
q: la función está definida para los números positivos
Así también: p ^ q, donde
p: el número es divisible por 3
q: el número está representado en base 2
Se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.
Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen debenser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.

La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:
P q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta conque una de ellas sea verdadera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Así por ejemplo la expresión: el libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.
Aquí debemos tener cuidado, porque en español muchas...