Tablas de verdad

Tablas de verdad

Una computadora puede ser programada para tomar decisiones basadas en si ciertos enunciados son verdaderos o falsos. A la verdad o falsedad de un enunciado se le llama valor de verdad; un enunciado es verdadero o falso, pero no ambas cosas. Algunos enunciados son enunciados compuestos, es decir, están integrados por subenunciados y varias conectivas.

EJEMPLO 1
a) “Lasrosas son rojas y las violetas azules” es un enunciado compuesto por los subenunciados “Las rosas son rojas” y “las violetas azules”.
b) “Él es inteligente o estudia todas las noches” es, implícitamente, un enunciado compuesto por los dos subenunciados “Él es inteligente” y “estudia todas las noches”.
c) ¿Para dónde va? No es un enunciado ya que no es ni verdadero ni falso.

▪ Conjunción, p ( qDos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra “y” para formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p ( q denota la conjunción de los enunciados p y q.

La tabla de verdad del enunciado compuesto p ( q está dada por la siguiente tabla:

|p |q |p ( q |
|V |V |V|
|V |F |F |
|F |V |F |
|F |F |F |

En este caso la primera línea es una manera abreviada de decir que si p es verdadera y q es verdadera, entonces p ( q es verdadero. Las otras líneas tienen significados análogos. Consideramos que esta tabla define precisamente el valor deverdad del enunciado compuesto p ( q como una función de los valores de verdad de p y de q. Observe que p ( q es verdadero solamente en el caso en que ambos subenunciados son verdaderos.

EJEMPLO 2 Considere los cuatro enunciados siguientes:

(i) París está en Francia y 2 + 2 = 4
(ii) París está en Francia y 2 + 2 = 5
(iii) París está en Inglaterra y 2 + 2 = 4
(iv) París está enInglaterra y 2 + 2 = 5

Solamente el primer enunciado es verdadero. Cada uno de los otros enunciados es falso ya que por lo menos uno de sus subenunciados es falso.

▪ Disyunción, p ( q

Dos enunciados pueden combinarse con la palabra “o” (en el sentido de “y/o”) para formar un nuevo enunciado que se llama la disyunción de los dos enunciados originales. Simbólicamente, p ( q denota ladisyunción de los enunciados p y q.

El valor de verdad de p ( q está dado por la siguiente tabla de verdad, que define a p ( q:

|p |q |p ( q |
|V |V |V |
|V |F |V |
|F |V |V |
|F |F |F |

Observe que p ( qsolamente cuando ambos enunciados son falsos.

EJEMPLO 2 Considere los cuatro enunciados siguientes:

(i) París está en Francia o 2 + 2 = 4
(ii) París está en Francia o 2 + 2 = 5
(iii) París está en Inglaterra o 2 + 2 = 4
(iv) París está en Inglaterra o 2 + 2 = 5

Solamente (iv) es falso. Cada uno de los otros enunciados es verdadero ya que por lo menos uno de sus dossubenunciados es verdadero.

▪ Negación, ( p

Dado cualquier enunciado p, se puede formar otro enunciado, llamado la negación de p, escribiendo “Es falso que …” antes de p o, si es posible insertando en p la palabra “no”. Simbólicamente, ( p denota la negación de p.

La tabla de verdad de ( p está dada por la siguiente tabla:

|p |( p |
|V |F |
|F|V |

En otras palabras, si p es verdadero entonces ( p es falso, y si p es falso entonces ( p es verdadero. Así el valor de verdad de la negación de cualquier enunciado es siempre el opuesto del valor de verdad del enunciado original.

EJEMPLO 4 Considere los siguientes enunciados

a) París está en Francia
b) Es falso que París está en Francia
c) París...