Tablas

SEÑALES Y SISTEMAS I

TABLAS

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedad Señal Transformada X( s) ROC R R1 R2
Al menos R 1 ∩ R 2

x (t )
x1 (t ) x 2 (t )
Linealidad Desplazamiento en el tiempo Desplazamiento en el dominio s

X1 (s )
X 2 (s )
aX1 (s) + bX 2 (s)

ax1 ( t ) + bx 2 ( t )
x( t − t 0 )

e − st 0 X(s)
X( s − s 0 )R
Versión desplazada de R ( es decir, s está en la ROC si s-s0 está en R) ROC escalada (es decir, s está en la ROC si s/a está en R)

e s0t x( t ) x( at )
x * (t )

Escalado en el tiempo

1 ⎛ s⎞ X⎜ ⎟ a ⎝ a⎠
X * s*

Conjugación Convolución Diferenciación en el dominio del tiempo. Diferenciación en el dominio s

( )

R
Al menos R 1 ∩ R 2 Al menos R

x 1 ( t )∗ x 2 ( t ) d x( t) dt −tx( t )

X1 (s) X 2 (s) sX(s)

d X(s) ds 1 X(s) s

R
Al menos

Integración en el dominio del tiempo.

∫−∞

t

x ( τ ) dτ

R ∩ { Re{s} > 0}

Teoremas del valor inicial y final. Si x (t ) = 0 para t < 0 y x (t ) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0 , entonces
x 0+ = Lim sX (s )
x →∞

( )

Lim x (t ) = Lim sX(s )
t →∞ s →0TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES SEÑAL δ( t ) u( t ) − u( − t ) t n−1 u( t ) ( n − 1) ! − t n−1 u( − t ) ( n − 1) ! e −αt u( t ) − e − αt u( − t ) t n−1 − αt e u( t ) ( n − 1) ! − t n−1 − αt e u( − t ) ( n − 1) ! δ( t − T) TRANSFORMADA 1
1 s 1 s

ROC Todo s Re{s} > 0 Re{s} < 0 Re{s} > 0 Re{s} < 0 Re{s} > −α Re{s} < −α Re{s} > −α

1 sn 1 s
n

1 s+α 1 s+α

1

(s + α)
1

nRe{s} < −α

(s + α) n
e − sT
s s2 + ω 2 0
ω0 s
2

Para todo s Re{s} > 0 Re{s} > 0 Re{s} > −α Re{s} > −α

[ cosω 0 t ]u( t ) [sen ω 0 t ]u( t )

+ ω2 0
2

[e
[e

−αt

cos ω 0 t u( t )
sen ω 0 t u( t )

]

s+α

(s + α )

+ ω2 0

−αt

]

ω0

(s + α ) 2 + ω 2 0
sn
1 sn
Para todo s

d n δ (t ) u n (t ) = dt n u − n (t ) = u (t ) * * u (t )
n veces

Re{s} > 0PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie x (t )⎫ ⎬ Periódicas de periodo T y y(t )⎭ frecuencia fundamental ω0 = 2π T x (t ) T Obtención de coeficientes = ak bk
1 x (t )e − jkω0 t dt T ∫T

k = −∞

∑ a k e jkω t
0

∞

ak = ak =

x(t) Señal par x(t) Señal impar

2 T2 x (t ) cos(kω 0 t ) dt T ∫0 2j T 2 x (t ) sen (kω 0 t ) dt T ∫0ak = −

Linealidad Desplazamiento en el tiempo Desplazamiento en frecuencia Conjugación Inversión de tiempo Escalamiento en el tiempo Convolución periódica Multiplicación

A x (t ) + B y (t )
x (t − t 0 )
x (t ) e jMω0 t x * (t )

A a k +B b k
a k e − jkω0 t 0

a k −M
a∗ −k

x (− t ) x (αt ), α > 0 (Periódica de periodo T/α)

a −k ak T a k bk

∫T x(τ) y(t − τ)dτ
x (t ) y (t)
dx (t ) dt

p = −∞

∑ a p b k −p
jkω0 a k
1 ak jkω 0

∞

Diferenciación Integración

∫−∞ x(τ) dτ
t

(de valor finito y periódica
solo si a 0 = 0 )

Simetría conjugada para señales reales. Señal real y par Señal real e impar

x (t ) Señal real

⎧a k = a ∗ k − ⎪ ⎪R e [a k ] = R e [a − k ] ⎪ ⎨I m [a k ] = − I m [a − k ] ⎪a = a −k ⎪ k ⎪ϕ [a k ] = −ϕ [a − k ] ⎩

x(t) real ypar ak real y par x(t) real e impar ak imaginaria e impar Relación de Parseval para señales periódicas ∞ 1 2 2 Pm [x (t )] = ∫ x (t ) dt = ∑ a k T T k = −∞

COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL PERIÓDICA x (t ) = COEFICIENTES
ak

k = −∞

∑ a k e jkω t
0

+∞

x (t ) =e jω0 t

⎧1 ∀ k = 1 ak = ⎨ ⎩0 ∀ k ≠ 1
a 1 = a −1 = 1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 1 2

cosω0 t sen ω0 t

a 1 = −a −1 =

1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 1 2j

x (t ) = 1
x (t ) =

a 0 = 1 ; a k = 0, ∀ k ≠ 0
∞

n = −∞

∑ δ(t − nT )
Onda cuadrada periódica

ak =

1 T

∀k

x (t ) =

m = −∞

∑ A ∏⎜ ⎝

∞

⎛ t − mT ⎞ ⎟ τ ⎠

(τ anchura del pulso)

ó
⎧A , t < τ 2 ⎪ x (t ) = ⎨ ⎪0, τ 2 < t < T 2 ⎩ y x (t + T ) = x (t )

ak = A

sen (kω0 τ / 2) Aτ ⎛ kω τ ⎞ sin c ⎜ 0 ⎟...