Taeas

Apuntes de Trigonometr´ Elemental ıa
Jos´ Antonio Salgueiro Gonz´lez e a IES Bajo Guadalquivir - Lebrija

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Agradecimientos
A Roc´ que con su apoyo hace posible la realizaci´n de este proyecto ıo, o

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´ Indice general

Agradecimientos 1. Introducci´n a la Trigonometr´ o ıa ´ 1.1. Angulos y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Razonestrigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1. Razones trigonom´tricas de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2. Razones trigonom´tricas de 30o y 60o . . . . . . . . . . . . . . . . e

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´ INDICE GENERAL

Cap´ ıtulo 1 Introducci´n a la Trigonometr´ o ıa
La palabra Trigonometr´ procede de las voces griegas tri-gonon-metron ,que significa ıa “medida de tres ´ngulos”. El objetivo prioritario de esta rama de las Matem´ticas es el a a estudio de las medidas de los ´ngulos y lados de los tri´ngulos. a a

1.1.

´ Angulos y medidas

Un ´ngulo es la regi´n del plano comprendida entre dos semirrectas, r y s, con un a o origen com´ n O. u r Las semirrectas r y s son los lados de ambos ´ngulos y O el v´rtice. a e O s

rA O B s

Tracemos una circunferencia con centro en O y radio arbitrario. Se determinan dos puntos, A y B, sobre r y s , respectivamente. A partir del punto A se puede llegar al B siguiendo la circunferencia de dos maneras. Fijaremos el siguiente convenio: si el recorrido se hace en forma contraria al seguido por las agujas de un reloj, diremos que el ´ngulo est´ orientado positivamente. En casocontrario, a a diremos que est´ orientado negativamente. a r

r +α s ´ Angulo positivo

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s ´ Angulo negativo

−α

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´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LA TRIGONOMETR´ IA

Existen varias formas de medir ´ngulos, que dependen del valor que se le asigne a un a ´ngulo completo o giro. a Sistema sexagesimal Un grado sexagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que se divideuna circunferencia, mediante sectores circulares iguales. De esta forma, una circunferencia abarca un ´ngulo de 360o . El ´ngulo definido por media a a circunferencia se llama llano, y medir´ 180o. La mitad de un llano se llama recto a y mide 90o . r 360o O r≡s r 180o O ´ Angulo llano s O 90o s

´ Angulo completo

´ Angulo recto

Los ´ngulos menores que un recto se llaman agudos y los mayoresobtusos. a Dos ´ngulos son complementarios si suman un recto, y suplementarios cuando a suman un llano. Por ejemplo, los dos ´ngulos agudos en un tri´ngulo rect´ngulo son a a a complementarios. De igual forma, un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (1o = 60′ ), y cada minuto, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales, que se llaman segundos (1′ = 60′′ ). Porultimo, el tama˜o de los ´ngulos no depende de la longitud de sus lados, ´ n a sino de su mayor o menor abertura. a Sistema centesimal Si un ´ngulo completo se divide en 400 partes iguales, cada una de ellas es un grado centesimal o gradi´n (1g ). Cada grado centesimal es igual a m a 100 centesimales, y cada minuto es igual a 100 segundos centesimales, 100s . Por eso, deber´ ıamos decir que un ´ngulorecto es la cuarta parte de un giro, pues a o g valdr´ 90 o 100 . Los grados centesimales se usan, sobre todo, en Topograf´ a ıa Radianes Se llama ´ngulo central el que tiene su v´rtice en el centro de la circunfea e rencia y sus lados son radios.

r O r

Si el ´ngulo central es recto, recibe el nombre de cuadrante. Dos di´metros pera a pendiculares entre s´ dividen la circunferencia en cuatrocuadrantes. ı

´ 1.1. ANGULOS Y MEDIDAS

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2o

1o

3o

4o

Se define el radi´n como la medida del ´ngulo central correspondiente a un arco a a de longitud igual al radio de la circunferencia.

Puedes usar un transportador o semic´ ırculo graduado para determinar de forma aproximada el valor de este ´ngulo en grados sexagesimales. a Ejercicio 1 En una circunferencia de 4 cm de...