TALLER 1 ANALISIS NUMERICO




































1. Para cada una de las siguientes matrices determine PA (λ), los valores característicos de A y ρ(A).

a)
Solución:
Para hallar el polinomio característico de A debemos hallar , donde:


































Nota: el polinomio , no tiene raíces exactas por lo tanto no tiene solución con números reales.







b)
Solución:Para hallar el polinomio característico de A debemos hallar , donde:






































2. Para cada una de las siguientes matrices determine
a)

b) A =

Solución:

a)
Para hallar la de A debemos hacer

,

Sabemos que





Ahora resolvemos el determinante de la matriz anterior:













Como entonces





La factorización resultocomo:, pero hay que seguir factorizando por el trinomio de la forma, así:



Los resultados entonces son y . Ahora aplicamos la fórmula general, tenemos:



.



Solución:

b)

Para hallar la de A debemos hacer

=


Sabemos que








Hacemos



Ahora resolvemos el determinante de la matriz anterior:



-2











1 0 -24 64 -48 2

2 4 -40 48
1 2 -20 24 0Factorizando

1 2 -20 24 2

2 8 -24
1 4 -12 0




=0

Finalmente hallando los valores característicos.



Regresando a la variable original.

Si


Y por ultimo





El radio espectral es:



Finalmente se halla la norma 2









5. Teniendo en cuenta que . Utilice los 5 primeros términos de la serie Taylor correspondiente a para determinar:
a) Una aproximaciónDE X (con seis dígitos de precisión)
b) El error absoluto EA y relativo ER de truncamiento

Solución:

Tenemos:













=0.000349
0.036225%


6. Verifique que la función tiene un único punto fijo en el intervalo (emplee el Teorema de Existencia y Unicidad del Punto Fijo para probarlo). Halle el Punto Fijo P usando el valor inicial y consigne los resultados obtenidos de cada iteración enla siguiente tabla:

TABLA I

n



0
0.20000000
1.79555555
--------------
1
1.99555555
0.43802687
1.79555555
2
1.55752866
0.17292737
0.43802687
3
1.73045604
0.06317583
0.17292737
4
1.66728020
0.02385054
0.06317583
5
1.69113074
0.00889998
0.02385054
6
1.68223075
0.00333588
0.00889998
7
1.68556663
0.00124828
0.00333588
8
1.68431834
0.00046740
0.00124828
9
1.68478574
0.00017496
0.00046740
101.68461077
0.00006555
0.00017496
11
1.68467628
0.00002321
0.00006555
12
1.68465175
0.00000919
0.00002321
13
1.68466093
0.00000342
0.00000919
14
1.68465750
0.00000129
0.00000342
15
1.68465878
0.00000046
0.00000129
16
1.68465830
0.00000001
0.00000046
17
1.68465848
0.00000005
0.00000001
18
1.68465842
0.00000002
0.00000005
19
1.68465844
0.00000000
0.00000002

Por último diga cuál es la función y verifiqueque

Solución:

Inicialmente, se debe probar la Existencia del Punto Fijo de la función en el intervalo
Para , entonces Luego,
Para , entonces Luego
Para





Luego ; Dicho de otra manera, Es decir, existe el punto fijo de la función en el intervalo

Ahora, se debe probar la Unicidad del Punto Fijo. Para ello, se debe cumplir que:



Luego,


La funciónes
De la TABLA I, es claro ver que el Punto Fijo de la función es 1.68465844
O lo que es equivalente, el valor 1.68465844 es un cero o raíz aproximada con ocho (8) dígitos de precisión de la ecuación
Además,


7. Aplique el Método de Bisección para aproximar la raíz cúbica de 8, usando el intervalo . Itere hasta que . Consigne los resultados obtenidos de cada iteración en una tabla. Trabajecon cuatro dígitos de precisión.
Solución: Para obtener , decimos que:

Luego , por tanto:
La función es
Calculamos el valor de siendo , entonces:
TABLA II
K







0
1.75000
2.12500
2.50000
-2.64062
1.5957
7.6250
----------
1
1.75000
1.93750
2.12500
-2.64062
-0.72680
1.5957
0.1875
2
1.93750
2.03125
2.12500
-0.72680
0.3808
1.5957
0.09375
3
1.93750
1.98437
2.03125
-0.72680...