Taller 1

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA
FACULTAD DE INGENIER´IAS
´
TALLER DE REPASO CALCULO
DIFERENCIAL
1. Calcule los siguientes l´ımites
x2 − 1
x→1 x6 − 1
√
2−x−1
b. lim √
x→1 5 − x − 2
7x + 4x2 − 2
c.lim
x→−2 x2 − x − 6
2x2 − 15x − 108
d. lim
2x − 9
x→9/2

a. lim

8x + 3x2 − 3
x→−3
x4 − 81
sen (1 + x) − sen (1)
f. lim
(use suma de ´angulos)
x→0
x
1
g. lim |x − 1| cos
+5
x→1
1−x
1
g. lim (x + 1) cosx→0
x
e. lim

2. Calcule
lim

h→0

f (x + h) − f (x)
h

para las siguientes funciones
a. f (x) = x2
b. f (x) = 1/x
√
c. f (x) = x
d. cos x
3. ¿Existe una funci´
on continua que cumpla las siguientescondiciones?, en caso afirmativo indique el
tipo de discontinuidad
a) lim f (x) = 2
x→0−

b) lim f (x) = 1
x→0+

c) lim f (x) = 1
x→2

d) f (0) = 3/2

e)f (2) = 1

4. Calcule las as´ıntotas verticales yanalice el comportamiento de la funci´on f alrededor de cada
as´ıntota
a. f (x) =

x
(x − 2) (x − 3)

x2 − 4
(x − 2) (x − 3)
4−x
c. f (x) = 2
x + 3x + 2

b. f (x) =

5. Encuentre las as´ıntotashorizontales de las siguientes funciones.

3x2 + 5x + 3
5x2 + 1
3x4 + x3 + 2x − 1
f (x) =
x6 − 1
x4 + 3x
−1
h(x) = 2
6x + 1
√
3x2 + 1 + 2x
h(x) =
x−3
√
2
ax + x + 1
a = 0.
f (x) =
2ax

a) f (x) =
b)
c)
d)e)

6. Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado, en caso negativo clasifique
su discontinuidad.

|x − 3|


+ 1 si x > 3
 √
4x − 12
a) f (x) =
en x = 3.



0
si x> 3
 senx

si x < 0

 3x
1/3
si x = 0 en x = 0.
b) f (x) =

x
−
4


si x > 0
x2 − 12

7. Encuentre (si existe) un valor de c para que la funci´on f sea continua en el punto indicado.

a) f (x)=





x2

x−3
+ 2x − 15

si x = 3
x = 3.



b) f (x) =

3c + 1
si x = 3

x−3


si x < 3

2

−x − 2x + 15




c2 + 1






 −1/8
 2
 x +x+3
c) f (x) =
5

3x3 + cx − 2

si x = 3x = 3.

si x > 3
x>1
x = 1 x = 1.
x<1

8. Muestre que la ecuaci´
on x3 − x2 + 3x − 2 = 0 tiene al menos una soluci´
on en [0, 1] .
√
9. Muestre que la ecuaci´
on x5 − 1 + x = 3 tiene al menos una...