Taller 1

´
Algebra
y Trigonometr´ıa
Taller 1
Este trabajo se entrega el d´ıa 05 de mayo del 2015, escrito a mano. Se deben escoger 10
ejercicios de los siguientes 25 y se entrega de forma individual. Trabajos id´enticos se promedian.

Raz´
on y proporci´
on
1. Si 34 trabajadores en 48 d´ıas han hecho una zanja de 384m de longitud, 2, 30m de anchura
y 4m de profundidad, trabajando 8 horas diarias ¿Cu´antostrabajadores har´an falta para
hacer en 17 d´ıas una zanja de 368m de longitud, 2, 40m de ancha y 4, 5m de profundidad,
trabajando 12 horas diarias?
2. En un grupo de ni˜
nos y ni˜
nas se retiran 16 ni˜
nos quedando dos ni˜
nos por cada ni˜
na,
despu´es se retiran 44 ni˜
nos quedando 6 ni˜
nas por cada ni˜
no. ¿Cu´antos ni˜
nos y ni˜
nas eran
al comienzo.?
3. En una fabrica X de Medell´ınrealizan 180 calillos al d´ıa. En un d´ıa cualquiera 12
empleados realizan la tercera parte de lo habitual trabajando 6 horas. Si al d´ıa siguiente
pierden a k trabajadores de los 12, y los que quedan realizan la tercera parte de lo habitual
en m horas. Finalmente, al tercer d´ıa los que quedan realizan el 50% de lo habitual en
m + 6 horas. Determine el n´
umero de trabajadores al segundo d´ıa y el n´umero de horas
que trabajaron.
4. Se necesitan 20 obreros para pavimentar 100km de camino en 10 d´ıas. ¿Cu´antos obreros
pavimentar´an 500km en 30 d´ıas?
5. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a ejecutar en 14 d´ıas cierta obra. Al cabo de
9 d´ıas solo han realizado los 37 de la obra. ¿Cu´antos hombres m´as tendr´an que contratar
para terminar la obra en el tiempo fijado?
6. El radio de labase de un cilindro circular recto se aumenta 20%, mientras que la altura
disminuye 12%. Determine en qu´e porcentaje var´ıa el volumen, especificando si ´este
aumenta o disminuye.
7. Determine el porcentaje de incremento u
´nico, equivalente a dos incrementos sucesivos del
a1 % y del a2 %.

Progresi´
on aritm´
etica y geom´
etricas
8. En los siguientes problemas, enumere los cinco primeros t´erminosde la sucesi´on con el
t´ermino general especificado:
• an = (−2)n
• an =

n(n+1)
2

• an =

n2
n2 +1
1
n3 +1

• an =

1

9. En los siguientes problemas, determine si la sucesi´on dado es una progresi´on aritm´etica o
geom´etrica. Encuentre la diferencia aritm´etica o la raz´on geom´etrica. Escriba el t´ermino
general, la suma de los n t´erminos y la f´ormula de recurrencia de la progresi´on.
,− 81
, ...
• 24, −9, 27
8
64
•

1 2
, , 1, 43 , ...
3 3

• −x, 2x, 5x, 8x, ...
1
1
• 1, − 41 , 16
, − 64
, ...

10. Halle el d´ecimo t´ermino de la sucesi´on

1
, 1 , 1 , ....
729 243 81

11. Halle una sucesi´on geom´etrica cuyo segundo t´ermino es 4, y tal que
a4
25
=
a6
4
12. Cierta poblaci´on de bacterias aumenta geom´etricamente con un factor diario de 1.2 ¿De
cu´anto ser´a su poblaci´on al cabode 4 semanas si inicialmente era de 100?

Potenciaci´
on y radicaci´
on
13. En los siguientes problemas, simplifique y elimine cualquier exponente negativo:
a

•

ta+b
ta

•

wa−2b
w−b

a+b

a
a−b

1
c−k

• x3c−3k
•

tb−a
tb

(3a−1 b2 )−2
(2a2 b−1 )−1

14. En lo siguientes problemas, combine y simplifique la expresi´on dada:
•
•
•
•

3
− a26+4
a−2
z
3
− 4z2 −3z−1
2z+3
x+y
1/x+1/y

+

4z+1
2z 2+z−3

x+1
− x−1
x−1
x+1
1
1
+ x−1
x+1

15. En los siguientes problemas, simplifique los radicales. Suponga que todas las variables
son positivas.
√
4
• 16x5 4 2x3 y 4
•
•
•

√
2
√
√ 8ab
64a 8b4
3

√
3

x3

(x2 y)2
√

8xy 3 4xy 2
√
3 2 3
x z

2

16. En los siguientes problemas, racionalice:
•

√ √
x+ y
√ √
x− y

•

√
2(x+h)− 2x
h

√

•
•

√
(x+h)2 +1− x2 +1
h

2
√ 2 −√
t+u
t

u

17. En los siguientesproblemas, simplifique:
2 −b2

a
√x

•
•

a

n

1/a
3(a+b)

a

3 −ab2

xa

2n+1
(2n )n−1
4n+1
(2n−1 )n+1

xm

•

2

1
m−1

xx2m−1
a−2 +a−1 b−1
a−2 −a−1 b−1

•

18. Muestre que

−1

√
√
p+q− p−q
√
√
p+q+ p−q

−1

p+

p2 − q 2
p

−1

=

p
q

19. Muestre que
1=

1
1
+
m−n
1+x
1 + xn−m

Operaciones entre polinomios
20. Sean p(x), q(x), y h(x) tres polinomios, calcular p(x) + q(x) − h(x),...