taller 1

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
Asignatura: Álgebra Lineal.
Profesora: Viviana Andrea Parada Almeida.
Taller 1: El campo de los números complejos.
1. Calcula las partes real e imaginaria de lossiguientes números complejos:
1
1
2+i 2−i
1
a.
+
c.
+
+i
b.
2
i 1+ i
1− i 1+ i
(3 + 2i )
1+ i

e.

2.

d.

(i + 1)3

f . i 3825
z=

a. Si

4i
− 3 − 4i

halle

b. Si

z

z=

5
− 3 +i

halle arg( z )

3.Opere cada una de las siguientes expresiones y simplifique tanto como sea posible.
a. (2 − 3i )(i + 1) − (1 + 2i )

e.

b. (2 − i ) 2
1

2

(1 + i )3
(1 − i )3

(

c.

)(

f. 8−i 3 8+i 3

6 − i 3 +4i
−
5 + 2i 2 − 5i

d.

i + i2 + i3 + i4 + i5
i +1

)

4. Expresa en forma polar y exponencial los siguientes números complejos. (Nota: investigue
como se expresa un complejo en forma exponencial).
a.3 + 3i

b.

1+ i

c. − 1 − 2i

2

e. − 2 − 2 3i

f . 1 + 3i

5. Si z = − 3 + i y w = 1 + 3i , expresa en forma polar los resultados de:
e. z 10
c. z w
d. z / w
a. − z1
b. w
6. Calcule los siguientescomplejos y expréselos en forma rectangular, polar y exponencial:

π
π

3 cos + isen 
6
6
a. 
π
π

2 cos + isen 
3
3

7. Sea α =
a. e α i

π
4

, β=

π
π 
π
π

b. 3 cos + isen . 2cos + isen 
6
6 
3
3

2π
3

b. 3e − β i

y γ =

π

 
4π
4π
c. 4 cos
+ isen
3
3
 

 3
.


. Expresar en forma rectangular los siguientes complejos:
6
c. 4e (γ −α ) i
d . 2e β i

8.Encuentra z en forma rectangular tal que se cumpla cada ecuación.
a. z (2 − 5i ) = 1 + 5i

b. ( z + 1)(− 4i ) − 1 = i

c. 2 z (i − 1) = 2 − i

9. Haciendo uso de la fórmula de DeMoivre prueba que:
b. cos4θ = 8 cos 4 θ − 8 cos 2 θ + 1

a. sen 3θ = 3sen θ − 4 sen 3θ

10. Halle las raíces cuadradas de los siguientes complejos:
a. − i

b. 4e

i

π

c. 2 − 2 3i

3

11. Halle todas las soluciones complejasde:
a. x 3 + 1 = 0

b. x 5 − 1 − i = 0

c. x 4 − x 2 + 1 = 0

En los ejercicios del 12 al 14 escoja la respuesta correcta. Justifique su decisión.
1
12. Si z = 2 (1 + i ) entonces
a. z 3 = 1

c. z...