TALLER 1

Autor: Investigadores Proyecto Red Mutis

El Oscilador masa resorte

Taller 1

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Nombre del Proyecto: Diseño de una Unidad Didáctica para la enseñanza y el aprendizaje
del tema Movimiento Oscilatorio desde la articulación de los conceptos físicos, el
modelamiento matemático y sus aplicaciones
Investigadores:
Universidad Autónoma de Manizales (UAM):
Francy NellyJiménez García
Jairo de Jesús Agudelo Calle
Carolina Márquez Narváez
Universidad Autónoma de Bucaramanga (UNAB):
Ligia Beleño Montagut
William González Calderón
Universidad de Ibagué (UNIBAGUE):
Alexander Cortes Soto
Corporación Universitaria Minuto de Dios (UNIMINUTO):
Hernando Evelio Leyton Vásquez
Universidad Tecnológica de Bolivar (UTB):
Jorge Luis Muñiz Olite

Fecha elaboración del documento:Junio 17 de 2015

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Taller No. 1: Ecuaciones Lineales de Segundo Orden
El Oscilador Masa-Resorte
Objetivo
Reforzar los temas que fundamentan el conocimiento de las ecuaciones diferenciales de segundo
orden, en el caso específico del oscilador masa-resorte.
Introducción
Un oscilador masa-resorte está formado por una masa
unida a un resorte fijo en un
extremo, como semuestra en la figura 1. Diseñe una ecuación diferencial que gobierne el
movimiento de este oscilador, tomando en cuenta las fuerzas que actúan sobre él debido a la
elasticidad del resorte, la fricción (amortiguamiento) y las posibles influencias externas.

Ecuaciones diferenciales y problemas con
valores de la frontera. Pearson Educación, 2009.

Figura 1. Oscilador masa-resorte amortiguado
Enesta guía y las siguientes consideraremos diversos sistemas lineales dinámicos en los cuales
cada modelo matemático es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes
constantes junto con condiciones iniciales especificadas en el tiempo :
( )

( )

( )

Recuerde que es la función de entrada, impulsora o forzadora, del sistema. La salida o
respuesta del sistema es una función ( )definida en un intervalo que contiene y satisface tanto
la ecuación diferencial como las condiciones iniciales en el intervalo .
Para efectos del mayor entendimiento del estudiante se dividen los temas en diferentes guías por lo
cual en esta guía se analizará el Movimiento Libre No Amortiguado y se analizarán posteriormente los
temas de Movimiento Libre Amortiguado y Forzado.
Sistemas masa-resorte:Movimiento Libre No Amortiguado


Ley de Hooke Suponga que un resorte flexible está suspendido verticalmente de un soporte
rígido y después una masa se sujeta a su extremo libre. La cantidad de estiramiento o
elongación del resorte dependerá, por supuesto, de la masa; las masas con diferentes pesos
estiran el resorte en diferentes cantidades. De acuerdo con la ley de Hooke, el propio resorteejerce una fuerza de recuperación que es contraria a la dirección de la elongación y

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

proporcional a la cantidad de elongación . Expresado de manera sencilla,
, donde
es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.
Segunda Ley de Newton Después de que una masa se anexaa un resorte y estira el
resorte una cantidad , el sistema alcanza una posición de equilibrio en la cual su peso
se
balancea por la fuerza de recuperación . Recuerde que el peso está definido por
,
donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y
o
,
respectivamente. Como indica la figura 2b), la condición de equilibrio es
o
–
. Si la masa se desplaza por una cantidad desde su posición deequilibrio, la fuerza de
recuperación del resorte es entonces (
). Si se supone que no hay fuerzas de retardo
que actúen sobre el sistema y que la masa vibra libre de otras fuerzas externas
—
— podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o
resultante, de la fuerza restauradora y el peso:
(

)

( )

⏟

Matemáticas avanzadas para ingeniería I:
ecuaciones diferenciales. 2008.

Figura...