Taller 13

Departamento de Matem´
aticas
C´
alculo I
Taller N◦ 13: Aplicaciones de la derivada
Profesoras: Martha Pinz´
on y Daniela V´
asquez.

1. Calcule

d2 y
si:
dx2

a) y = arctanx

Mayo 20 de 2015

√
b) y= ln x x2 + 1

c) x2 y 2 = x + y

2. Elabore la gr´afica de las siguientes funciones indicando: Dominio, rango, intervalos de crecimiento
y de decrecimiento, valores extremos, intervalos deconcavidad hacia arriba, hacia abajo, puntos de
inflexi´on, as´ıntotas horizontales y as´ıntotas verticales si existen.
4
a) f (x) = x4 + x3 − 4x2 .
3
x2
b) f (x) = 2
x −9
3.

c) f (x) = e−x

2

2

5

d ) f(x) = 5x 3 − x 3

a) Encuentre el valor de las constantes a, b, c y d de tal forma que la funci´on
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un m´aximo local igual a 5 en x = −3 y un m´ınimo local igual a 0 en x= 2.
1
b) Halle el valor de la constante c, para que la gr´afica de f (x) = cx2 + 2 tenga un punto de
x
inflexi´on en (1, f (1)).
c) La curva f (x) = x3 + ax2 + bx + c corta el eje de abscisas en x =3 y tiene un punto de
inflexi´on en P ( 32 , 19 ). Halle las constantes a, b y c.

4. Elabore una gr´afica aproximada de una funci´on y = f (x) que satisface: Punto cr´ıticos en (−1, 1)
y (3, 2)punto de inflexi´on en (4, 1), l´ım− f (x) = ∞, l´ım+ f (x) = −∞, l´ım f (x) = ∞ y
x→0

x→0

x→−∞

l´ım f (x) = 0.

x→∞

5. A continuaci´
on se d´a la gr´afica de la derivada f ′ de una funci´on f y lagr´afica de f . Relacione la
gr´afica de f con la de su derivada.

6. La siguiente gr´afica es la gr´afica de la derivada de una funci´on f (x). Haga un bosquejo aproximado
de la gr´afica de f indicandointervalos de crecimiento, de decrecimiento, valores de x donde se
alcanzan extremos locales, intervalos de concavidad hacia arriba, hacia abajo y puntos de inflexi´on
si existen.
100

50

-7.5

-5-2.5

2.5

5

7.5

-50

-100

7. Un granjero quiere cercar un terreno rect´angular con ´area de 2400 pies cuadrados. Tambi´en quiere
usar algo de cerca para construir una divisi´on interna paralela...