Taller 3 programacion

Taller de cálculo:

Newton-Raphson

Fabrizio Roa
Ivo Giunio
Constanza Berríos
Taller 3 Cálculo
Profesora Marta Osorio

Método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson fue ideado en1669 por Isaac Newton. Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función,encontrando los ceros de su primera derivada.
Si el valor inicial de una raíz es Xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto (Xi, F(Xi)) de la curva. Por lo general, el punto donde latangente cruza al eje X representa una aproximación mejorada de la raíz.
Es necesario, además de calcular la derivada de la función en estudio, comenzar las iteraciones con un valor inicial X0, el cualdeterminara la raíz que será encontrada con este método.
La estimación del error relativo se desarrolla con el valor obtenido en la última iteración y e valor de la iteración anterior.



El errorverdadero Solo puede calcularse si se cuenta con los valores verdaderos de las raíces.


Este método fue aplicado en polinomios, no en aproximaciones sucesivas.

El algoritmo



Elsiguiente grafico es una representación de lo anterior descrito



Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,



Trazamos la recta tangente a la curva en elpunto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tienependiente


Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguienteaproximación:
, si
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha...