Taller 3

Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemáticas
Taller 3 Algebra 1 MA - 190
Instrucciones
F Objetivo del taller: Aprender a resolver algunas identidades y ecuaciones trigonométricas. Debe resolver los Ejercicios Propuestos.
F Metodología del taller: Se realizará en grupo y la participación de
cada uno de los integrantes de este debe ser activa. La organización del grupo
deberá serrealizada por los propios miembros del grupo. En todo momento,
podrán recurrir a la orientación y ayuda del profesor y profesores ayudantes.
F Evaluación del taller: Al …nal del taller el grupo deberá entregar un
trabajo con todas las respuestas de los ejercicios elaborados en el taller. Se valorarán, aparte de una buena organización de equipo, las soluciones correctamente
argumentadas, orden deltrabajo y formato adecuado.
F Herramientas aconsejables: Hojas cuadriculadas o en blanco, regla y
colores.
Identidades trigonométricas
1. Recordemos algunas identidades fundamentales:
i. Inversos o recíprocos multiplicativos:

sen ( )

=

sec ( )

=

1
sen ( )
1
; cos ( ) =
; tan ( ) =
csc ( )
sec ( )
cos ( )
1
1
1
cos ( )
; csc ( ) =
; cot ( ) =
=
cos ( )
sen ( )
tan ( )
sen ( )

2i. Fórmulas de loscuadrados o pitagóricas:
sen2 ( ) + cos2 ( ) = 1
sec2 ( ) tan2 ( ) = 1
csc2 ( ) cot2 ( ) = 1
2. Demostraciones:
Para demostrar una proposición trigonométrica debe transformarse, ya sea por
sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por pasos algebraicos válidos, de
manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir,
que lo escrito del lado izquierdo sea realmente iguala lo escrito del lado derecho.
Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a:
1) una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien
2) a una cualquiera de las fórmulas trigonométricas.
1

Para facilitar la comprensión y aprendizaje de los procesos de demostración de
igualdades trigonométricas, conviene clasi…carlas o agruparlas, según la forma
que tengan.
a.- Porsimilitud de alguna fórmula
Procedimiento: Se compara la igualdad que debe demostrarse con la fórmula
a la que se “parece”. Entonces el término que es diferente de la fórmula es el
que se transforma hasta convertirlo en el correspondiente de la fórmula.
Ejemplo 1: Demostrar que sen2 (x) + cos2 (x) = tan (x) cot (x)
Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula sen2 ( ) +
cos2 ( ) =1. De manera que, por comparación, se debe transformar el lado
derecho para convertirlo en 1. El siguiente esquema muestra la forma de hacer
la comparación:
Comparación:
iguadad a demostrar:
fórmula fundamental:
Como tan ( ) =

!

sen2 ( )

+

cos2 ( )

#
sen2 ( )

+

#
cos2 ( )

=

tan ( ) cot ( )
{z
}
|
#
=
1

1
, sustituyendo en la igualdad propuesta se llega a
cot ( )
1
sen2 ( ) + cos2 ( ) =cot ( )
cot ( )

simpli…cando el lado derecho:
sen2 ( ) + cos2 ( ) = 1
con lo que queda demostrado, ya que esta igualdad es cierta sin lugar a dudas
por tratarse de la fórmula de los cuadrados.
Ejercicios Propuestos: Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas
por similitud con alguna de las fórmulas anteriores.
i. sen2 (x) + cos2 (x) =sen(x) csc (x)
2i. tan2 (x) + sen(x) csc (x) = sec2 (x)1
3i. cot2 (x) +
= csc2 (x)
tan (x) cot (x)
4i. cot2 (x) + sen2 (x) + cos2 (x) = csc2 (x)

b.- Pasando a seno y coseno por similitud de alguna fórmula
Procedimiento: Un recurso muy útil en la demostración de igualdades trigonométricas, es pasar todas las funciones a senos y/o cosenos, en virtud de que las seis
pueden expresarse en términos de éstas, ya que la tangente es igual a seno sobre
2coseno ; la cotangente es igual a coseno sobre seno ; la secante es igual a uno
sobre coseno y la cosecante es igual a uno sobre seno.
Una vez pasadas todas las funciones a senos y/o cosenos, se hacen las simpli…caciones algebraicas posibles y, en caso necesario, se emplean nuevamente
cualesquiera de las fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una
igualdad que sea cierta sin lugar a...