Taller 4: vibraciones con 2gdl

UNIVERSIDAD DEL EL SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
VIBRACIONES MECÁNICAS

Ever Esaú Martínez Sánchez

MS08016

Yamileth Marisela Rivera Cubías

RC09065CUARTO TALLER EVALUADO: VIBRACIONES EN SISTEMAS DE 2GDL.

Determine las ecuaciones de desplazamiento en estado estacionario del sistema que se
muestra en la figura. Considere:
K1= K1= K3= K4=100lb/in
M1= M2= 25lbm
C= 300 lb-s/in

M1

M2

Diagramas de cuerpo libre:

Masa 1: Sometida a las fuerzas de los resortes K1 y K2, la fuerza externa y el efecto del
amortiguador. Nótese que para la masa 1:𝑿𝟏 = 𝜹𝟏 = 𝜹𝟐

X1K1

X2K2

=
50Cos12t
CX1

M1X1

𝐹 = 𝑀𝑋
−𝐾1 𝑥1 − 𝐾2 𝑥𝑧 + 50 cos 12𝑡 = 𝑚1 𝑥1
𝑚1 𝑥1 + 𝐶 𝑥1 − 𝑥2 + 𝐾1 𝑥1 + 𝐾2 𝑥2 = 50 cos 12𝑡

𝟏

Masa 2: Sometida a las fuerzas de los resortes K3 y K4, y elefecto del amortiguador.
Nótese que para la masa 2:
𝑿𝟐 = 𝜹𝟑 = 𝜹𝟒
C(X2-X1)

=

X2K3

X2K4

M2X2

−𝐶 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑥2 𝐾3 − 𝑥2 𝐾4 = 𝑚2 𝑥2
𝑚2 𝑥2 + 𝐶 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥2 𝐾3 + 𝐾4 = 0

𝟐

Para el caso de vibración forzadaamortiguada, se tiene la siguiente solución:
𝑋1 = 𝐴𝑒 𝑖𝑤 𝑡

;

𝑋2 = 𝐵𝑒 𝑖𝑤 𝑡

𝑋1 = 𝐴𝑖𝑤𝑒 𝑖𝑤 𝑡

;

𝑋2 = 𝐵𝑖𝑤𝑒 𝑖𝑤 𝑡

𝑋1 = 𝐴𝑤 2 𝑒 𝑖𝑤 𝑡

;

𝑋2 = 𝐵𝑤 2 𝑒 𝑖𝑤 𝑡

Además:
𝐹 cos 𝑤𝑡 = 𝐹𝑒 𝑖𝑤 𝑡

Sustituyendo lasecuaciones solución en las ecuaciones (1) y (2), y simplificando
términos, se obtiene.
Masa 1:
𝐴 𝑚1 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1 − 𝐵 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾2 = 50

(𝟑)

Masa 2:
𝐴 𝐶𝑖𝑤 + 𝐵 𝑚2 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4 = 0

𝟒

Planteamiento deuna matriz solución:
𝑚1 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1
𝐶𝑖𝑤

−𝐶𝑖𝑤 − 𝐾2
𝐴
50
=
𝐵
0
𝑚2 𝑤 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4
2

Resolviendo usando la regla de Cramer:
50
−𝐶𝑖𝑤 − 𝐾2
0 𝑚2 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4
𝐴=
𝑚1 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1
−𝐶𝑖𝑤 − 𝐾2
2𝐶𝑖𝑤
𝑚2 𝑤 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4
𝐴=

50 𝑚2 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4
𝑚1 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1 𝑚2 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4 + 𝐶𝑖𝑤 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾2
𝑚1 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1 50
𝐶𝑖𝑤
0
𝐵=
𝑚1 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1
−𝐶𝑖𝑤 − 𝐾2
𝐶𝑖𝑤
𝑚2 𝑤 2 + 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4

𝟓𝐵=

𝑚1

𝑤2

+ 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾1 𝑚2

𝑤2

−50 𝐶𝑖𝑤
+ 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾3 + 𝐾4 + 𝐶𝑖𝑤 𝐶𝑖𝑤 + 𝐾2

Sustituyendo valores en las ecuaciones (5) y (6) se obtiene:
𝐴=

190000 + 180000𝑖
−11860000 + 27360000𝑖

𝐵=

−180000𝑖...