Taller 8

Geometr´ıa Vectorial y Anal´ıtica
Taller 8: Transformaciones lineales y matrices invertibles. Par
orientado de vectores. Determinantes. Vectores y Valores
propios.
1. Considere los puntos A =
−7
3yE=

−3
0

5
1

,B =

4
5

,C =

−3
6

,D =

.

(a) Utilice determinantes para calcular el ´area del pol´ıgono ABCDE.
(b) Si T es una transformaci´on lineal del plano cuyo determinante
es −5, encuentreel ´area de la imagen bajo T del paralelogramo
determinado por los vectores A y B.
(c) Determine si el par de vectores D, C, est´a orientado positivamente.
(d) Encuentre un vector X ∈ R2 de magnitud5 tal que el par de
vectores A, X est´e orientado positivamente y el ´area del paralelogramo determinado por A y X sea 5 unidades cuadradas.
2. Sea A =

8
5
:
−10 −7

(a) Determine cu´ales de lossiguientes son vectores propios de A, justif−1
−4
1
icando su respuesta: (i)
(ii)
(iii)
.
2
4
2
(b) Halle los valores propios de la matriz A.
(c) Encuentre el conjunto de los vectores propios de Acorrespondiente
a cada valor propio, interpr´etelo geom´etricamente y graf´ıquelo.
(d) Con base en los resultados del literal (c), determine si la matriz
A tiene factorizaci´on de la forma A = P DP −1 , conP matriz
invertible y D matriz diagonal. En caso afirmativo, halle matrices
P y D que satisfagan tales condiciones. ¿Las matrices P y D son
u
´nicas? Explique.

1

3. Sea T la transformaci´on linealdel plano cuyos valores propios son
λ1 = −3 y λ2 = 2. Si el conjunto de vectores propios de T corre−1
spondiente al valor propio λ1 es t
| t ∈ R, t = 0 y el con2
junto de vectores propios de Tcorrespondiente al valor propio λ2 es
x
0
∈ R2 −
| x + y = 0 , encuentre la matriz de T .
y
0
4. Considere las siguientes matrices:
1 3
5 −4
(i) A =
(ii) A =
3 0
1 1
3 0
7 −3
(iii) A =
(iv) A =
0 −2
3 1
(a)Diga cu´al(es) no tiene(n) factorizaci´on de la forma P DP −1 con P
invertible y D diagonal. Explique su respuesta.
(b) Diga cu´ales tienen factorizaci´on de la forma P DP −1 con P invertible y D...