Taller Calculo Integral

Taller #1 de cálculo integral (parte 1)

1) senxcos3x1+cos2xdx

Sol)

Sea u=cosx
du= - senxdx -u31+u2du = -u2u1+u2du
- du= senx

luego

a=1+u2 =-(a-1)2ada
a-1=u2
da=2udu =-12(a-1)ada
da2=udu
=-12aada-1ada
=-121da-daa=-12a+12lna
=-12(1+u2)+12ln1+u2
* =-121+cos2x+12ln1+cos2x+c

2) dx1+x2Ln|x+1+x2| Sea u=Ln|x+1+x2| dv= dx1+x2
du= 11+x2 v= dx1+x2
Evaluamos v resolviendo la integral:
dx1+x2
= por integrales trigonometricas:
Sea x= tanθ dx= Sec2θ dθ
Sec2θ dθ1+tan2θ
Sec2θ dθSec2θ
Sec2θ dθSec θEntonces V = LnSec θ+Tanθ+ C
V= Lnx+1+x2+ C

Luego usando la formula de integracion por partes tenemos que:
dx1+x2Ln|x+1+x2|= Lnx+1+x2*Lnx+1+x2-Lnx+1+x2

dx1+x2Ln|x+1+x2|= Lnx+1+x2*Lnx+1+x2-11+x2+ C

3) ex - e-x3+e2x+ e-2x

Sol)
podemos expresar la integral de la siguiente forma:
ex - e-xe2x+2+ e-2x+1dx

completando cuadrados tenemos

ex - e-xex+ e-x2+1 dx

luego sustituimosu=ex+ e-x
du=ex+ e-x(-1)
du=ex- e-x dx

entonces
=duu2+1

=arctan u+1

= arctan ex+ e-x+1+c

4) dx1-x24+x2

Sol)
si 1=1-x24+x2
1=1-x2+4+x25
1=15 1-x2+4+x2
luego, sustituimos en la integral :
=15 1-x2+4+x21-x24+x2dx
=151-x21-x24+x2dx+ 4+x21-x24+x2dx
=15 dx4+x2+ dx1-x2
=15.12tan-1x2+ dx1-x2
=110tan-1x2+110ln1+x1-x+c
5) lnxx1+lnx dx

Sol)
sea u=1+lnx sustituimos en la integral
despejamos lnx =u2-1x.u*x2udu
u2=1+lnx 2 =u2-1*2du
u2=1+lnx =2(u2-1)du
u2-1=lnx =2u2du-du
2udu=dxx =2u33- u+c
x2udu=dx=23u3- u+c
=231+lnx 3- 1+lnx +c

6) xarctanx1+x23 sea u=arctanx
x=tanu
dx=sec2udu
tanu.u.sec2udu1+tan2u3
tanu.u.sec2udusec6u
tanu.u.dusec4u
senucosu1cos4uu.du
senucos4u.ducosu
senucos3u.u.du z=u dz=du
dv=senucos3u.dudv=cos3u.senu.du
a=cosu da=-senudu
dv=-a3da
v=-a44+c
v=-cos4u4+c

v.z=-v.dz
-vcos4v4+14cos4u.du
cos4u.du

(cos2u)2.du
cos2u.du2
(1+cos2u)24du = 14(cos2u)2du
(1+cos2u)2du =1+2cos2u+(cos2u)2du
du+2cos2udu+(cos2u)2du

u+2cos2udu+cos2u2du
cosudu =12cosmdm m=2udm=2du
=12senmdm
=12sen2u+c


cos2u2du
cos22udu
1+cos22u2du
121+cos4udu
12du+cos4udu
12u+18sen4u+c
-ucos4u4+116u+sen2u+12u+18sen4u+c
-ucos4u4+11632u+sen2u+18sen4u+c

=-arctanx.cos4(arctanx)4+11632arctanx+sen2arctanx+18sen4arctanx+c

7) pruebe que: secnxdx= tanxsecn-2xn-1+n-2n-1 secn-2xdx
Sol)secnxdx=secn-2x .sec2xdx
hacemos u=secn-2x
du=(n-2)secn-3x . secx tanx dx dv=sec2xdx
du=(n-2)secn-2x tanx dx v=tanx
utilizando el metodo de integracion por partes :
udv=u . v- vdu
secnxdx= tanxsecn-2x-tanx . (n-2)secn-2x tanx dx
secnxdx= tanxsecn-2x-(n-2)tan2x . secn-2x dx
secnxdx= tanxsecn-2x-(n-2) sec2-1 . secn-2x dxsecnxdx= tanxsecn-2x-(n-2) secnx- secn-2x dx
secnxdx= tanxsecn-2x-n-2 secnxdx+n-2 secn-2x dx
secnxdx=tanxsecn-2x-n-2 secnxdx+n-2secn-2x dx
secnxdx+n-2 secnxdx=tanxsecn-2x+n-2secn-2x dx
secnxdx1+n-2=tanxsecn-2x+n-2secn-2x dx
secnxdxn-1=tanxsecn-2x+n-2secn-2x dx
secnxdx=tanxsecn-2x + n-2secn-2x dxn-1
secnxdx=tanxsecn-2x n-1+n-2n-1secn-2x dx




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