Taller calculo multivariado

TALLER Nº2 DE MULTIVARIADO

DIANNY F. FERNANDEZ SAMACÁ 55054816

UNIVERSIDAD PEDAGÍGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
FACULTAD SECCIONAL SOGAMOSO
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CALCULO MULTIVARIADO
2007
TALLER Nº2 DE MULTIVARIADO

DIANNY F. FERNANDEZ SAMACÁ 55054816

Este trabajo se lleva a cabo para cumplir con uno de los objetivos del área de CALCULO MULTIVARIADO

Presentadoa:
JORGE ALVARADO
MATEMATICO

UNIVERSIDAD PEDAGÍGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
FACULTAD SECCIONAL SOGAMOSO
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CALCULO MULTIVARIADO
2007

INTRODUCCION

El presente trabajo contiene el desarrollo de cinco ejercicios de cálculo multivariado tomados de Larson Volumen II sexta edición. En este trabajo contempla los multiplicadores de lagrange, ademásestudia las diversas aplicaciones de la integración de funciones de varias variables, e ilustra el uso de la integración para calcular, volúmenes, áreas superficiales, y centros de masas. También contiene el desarrollo de integrales dobles en coordenadas polares e integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se desconoce de manera práctica (por medio deejercicios) los temas relacionados al curso Cálculo Multivariado, como lo referente a multiplicadores de lagrange, el uso de las integrales dobles para hallar centros de masas o volúmenes, e integrales dobles y triples en diferentes coordenadas.
Por esto se requirió realizar un debido trabajo teórico, el cual contiene el desarrollo de ejercicios relacionados con estos temas, para tener totalanálisis afianzamiento y entendimiento, teniendo a la vez la ampliación de conocimientos con respecto a lo ya aprendido en clase.

JUSTIFICACION

Este trabajo es de gran importancia por que mediante la práctica que se da por el desarrollo de los ejercicios, me permite lograr un gran entendimiento y afianzamientos de los temas del curso de Cálculo Multivariado como multiplicadores delagrange, integrales dobles y triples en diferentes coordenadas, ya vistos en clase o enunciados anteriormente.

OBJETIVOS

* Realizar los diversos cálculos con los multiplicadores de lagrange.

* Aprender a calcular las áreas planas, volúmenes o centros de masa de cualquier sólido.

* Entender y comprender las diversas aplicaciones de la integración, de funciones en varias variables.* Desarrollar integrales dobles en coordenadas polares, e integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

* Afianzar y ampliar los temas vistos en clase, mediante el correcto desarrollo de los ejercicios propuestos.

SECCIÓN 12.10

35. Refracción de la luz. Cuando la luz que viaja por un medio de transporte llega a la superficie del otro medio distinto, se desvía con elfin de seguir la trayectoria de tiempo mínimo. Esa desviación se llama refracción y viene descrita por la ley de la refracción de Snell, según la cual:
Sen θ1ν1=Sen θ2ν2
Donde θ1, θ2 son los ángulos de la figura y ν1, ν2 son las velocidades de la luz en los 2 medios, usar multiplicadores de Lagrange para demostrar esa ley, teniendo en cuenta el valor constante de x + y = a.
SOLUCIONGRAFICA 1

Tenemos una función f(x,y) para → maximizar o minimizar → mediante los multiplicadores de lagrange

Sujeta a una ligadura → g(x,y) = c

Para el desarrollo de el ejerció sobre la ley de la refracción de la luz primero definimos las variables

r12=x2+d12⇒r1=x2+d12

r22=y2+d22⇒r2=y2+d22

gx,y= x+y=a

Usamos la formula de tiempo t =d (distancia)v(velocidad) , para realizar lademostración.

Minimizamos t → refracción de la luz.

Entonces tenemos que t = xv

Observando la grafica tenemos que ttotal = T = t1 +t2
Por lo tanto T = r1 ν1 + r2ν2

Reemplazamos las variables ya definidas

T = x2+d12 ν1 + y2+d22ν2

Sujeta a una ligadura gx,y= x+y=a

Se plantea el sistema de ecuaciones

Txx,y= λgxx,y 1

Tyx,y= λgyx,y (2)

x+y=a (3)...