Taller circuitos 2

TALLER CIRCUITOS 2

1. Determinar el diagrama de polos y ceros, mediante el análisis del comportamiento de Z vs W y Y vs W para las siguientes configuraciones:
B
B
F
F
A
A
B
B
F
F
A
A


Si F esta definido como se muestra en la figura, con L1=3mH, L2=2mH y C=0.1µF
L1 CL2
2. Mediante el diagrama de polos y ceros, diseñe un circuito que permita rechazar el paso de la frecuencia f1=3Khz y permita el paso de la frecuencia f2=9Khz.
3. Mediante el diagrama de polos y ceros, diseñe un circuito que permita pasar la frecuencia de f2=4Khz y rechace el paso de lasfrecuencias f1=2Khz y f3=6Khz.





SOLUCION

1. A) para la configuración de la izquierda.
Puesto que el capacitor C y el inductor L2 están en paralelo, primero hallamos la admitancia de esta rama en paralelo para luego hallar su inversa, es decir, la impedancia y sumarla a la impedancia en serie del inductor L1:

YL2//C = jwc – j (1/wL2) = j(wc-1/wL2)
YL2//C = j (10-7w – 1/(2x10-3w))
Entonces tenemos que:
ZL2//c = 1 / YL2//c = -j (1/(wc-1/wL2)) = -j (1/ (10-7w – 1/(2x10-3w)))
Pero a parte de esto, debemos hallar el punto de la velocidad angular (w) donde se hace cero la admitancia de L2 en paralelo con C, a este W hallado lo llamaremos W0 de donde tenemos que:
YL2//C = 0
= j (wc-1/wL2) =0 => wc-1/wL2= 0
* wc =1/wL2 => w0 = 1/(L2c)1/2
* w0 = 1/(2x10-3x10-7)1/2
* w0 = 70710.67 rad/s
* f0 = 11253.6 Hz
Para la configuración que estamos estudiando, en w=w0 tenemos que YL2//C =0 y se restringe el paso de la frecuencia de f0 = 11253.6 Hz hacia el terminal B.

La gráfica de YL2//C es la siguiente:

De la cual resulta:



Ahora hallamosla inversa de esta grafica, es decir ZL2//c = 1 / YL2//c para sumarla a la impedancia serie de L1, (jw L1):


La gráfica de la impedancia total (zT) sería:

Obteniéndose:

De donde el diagrama de polos y ceros sería:

Y la gráfica de yT sería:

Y su respectivo diagrama de polos y ceros es:

Volviendo a las ecuaciones tenemos que:
zT = zL1 + zL2//c = jwL1 -j(1/(wc-1/wL2)) = j (wL1 - 1/(wc-1/wL2) )
zT = j (3x10-3w – 1/(10-7w-1/(2x10-3w)))


Para w=wr tenemos que zT =0, es decir:
Wr L1 - 1/(wr c-1/wr L2) =0
De aquí despejamos wr y tendremos:
Wr = ((L1 + L2) /cL1L2 )1/2 de donde reemplazamos los valores y tenemos que
Wr= 91287.09292 rad/s
* fr = 14528.79208 Hz
en w=wr tenemos que fr =14528.79208 Hz pasa al terminal B debido a que zT = 0.1. B)
Para la configuración de la derecha (en paralelo), obtenemos las mismas gráficas, con la única diferencia de que en w=w0 la señal pasa al terminal B y en w=wr la señal no pasa al terminal B.
2)

Empezamos con w0 ya que la impedancia aquí es infinita y no se ve afectada por el cambio en el circuito.
Utilizamos el siguiente circuito:

Calculando primero la admitanciapara luego calcular su inversa (impedancia) tendremos:

Yc//L = j (wc-1/wL)
Zc//L = -j(1 / (wc – 1/wL))
El comportamiento negativo se debe al capacitor, necesitamos un inductor para contrarrestarlo y obtener el cero.

De aquí la gráfica de la impedancia total zT sería:

De aquí obtendremos el siguiente diagrama de polos y ceros:

Para poder diseñar el circuito debemos suponer unvalor fijo, escogemos el del inductor L = 0.3 µH
Para w=w0 => yc//L=0 y tenemos que:
w0c – 1/ w0L =0
w0=1/(Lc)1/2
Debido a que w0 =2πf0 y f0= 3000Hz tenemos:
(2πf0)2=1/LC
* (2πx3000)2(C)=1/3x10-7
De donde tenemos que:
C= 9.38x10-3 F
Por otro lado tenemos que:
zT= j( wL1 – 1/(wc-1/wL))
Para w=wr => zT=0 y de aquí que:
wr L1 – 1/(wr c-1/wr L) =0
Despejando L1...