taller de calculo

Problemas de aplicaciones de las derivadas

Máximos y mínimos. Puntos de inflexión

*Deben imprimir solamente dos problemas para sustentar

s6 Halla los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de las siguientes
funciones:
x 3(3x – 8)
12

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x

b) y =

c) y = x 4 – 2x 3

d) y = x 4 + 2x 2

e) y =

1
+1

f ) y = e x (x – 1)

x2

a) f ' (x) = 3x 2– 12x + 9
f ' (x) = 0 8 3(x 2 – 4x + 3) = 0 8 x =

=

4 ± √ 16 – 12
=
2
4±2
2

x=3 8 y=0
x=1 8 y=4

Signo de la derivada:
f' > 0

f' < 0
1

f' > 0
3

Hay un mínimo en (3, 0) y un máximo en (1, 4).
Puntos de inflexión:
f '' (x) = 6x – 12 = 0 8 x = 2 8 y = 2
Como f '' (x) < 0 para x < 2 y f '' (x) > 0 para x > 2, el punto (2, 2) es un
punto de inflexión.

16

Unidad10. Aplicaciones de las derivadas

b) y =

3x 4 – 8x 3
12

f ' (x) =

12x 3 – 24x 2
= x 3 – 2x 2
12
x=0 8 y=0
x = 2 8 y = –4/3

f ' (x) = 0 8 x 2 (x – 2) = 0
f' < 0

f' < 0

f' > 0

1

3

(

Hay un mínimo en 2,

)

–4
.
3
x=0 8 y=0
x = 4/3 8 y = –(64/81)

f '' (x) = 3x 2 – 4x = 0 8 x (3x – 4) = 0
f '' > 0

f '' < 0
0

f '' > 0
4
—
3

Hay un punto deinflexión en (0, 0) y otro en

(

)

4 –64
,
.
3 81

c) f ' (x) = 4x 3 – 6x 2
x=0 8 y=0
x = 3/2 8 y = –27/16

f ' (x) = 0 8 x 2 (4x – 6) = 0
f' < 0

f' < 0
0

Hay un mínimo en

f' > 0
3
—
2

(

)

3 –27
,
.
2 16

f '' (x) = 12x 2 – 12x = 12x (x – 1) = 0
f '' > 0

f '' < 0
0

x=0 8 y=0
x = 1 8 y = –1

f '' > 0
1

Hay un punto de inflexión en (0, 0)y otro en (1, –1).
d) f ' (x) = 4x 3 – 4x
f ' (x) = 0 8 4x (x 2 + 1) = 0 8 x = 0 8 y = 0
f' < 0

f' > 0
0

17

Hay un mínimo en (0, 0).
f '' (x) = 12x 2 + 4 ? 0 para todo x.
No hay puntos de inflexión.
e) f ' (x) =

–2x
+ 1)2

(x 2

f ' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0 8 y = 1
f' > 0

f' < 0
0

Hay un máximo en (0, 1).
2
2
2
2
2
2
f '' (x) = –2(x + 1) + 2x · 2(x + 1) ·2x = –2(x + 1) + 8x = 6x – 2
2 + 1)4
2 + 1)3
2 + 1)3
(x
(x
(x

f '' (x) = 0 8 x = ±
f '' > 0

√

1
1
√3
=±
=±
3
3
√3

f '' < 0
–
–√3
—
3

8 y=

3
4

f '' > 0
–
√3
—
3

(

Hay un punto de inflexión en –

√3 , 3
3

4

)

y otro en

(√ )

3 3
,
.
3 4

f) f ' (x) = e x (x – 1) + e x = e x (x – 1 + 1) = xe x
f ' (x) = 0 8 xe x = 0 8 x = 0 (puese x ? 0 para todo x) 8 y = –1
f '' < 0

f '' > 0
0

Hay un mínimo en (0, –1).
f '' (x) = e x + xe x = e x (1 + x)
f '' (x) = 0 8 x = –1 8 y =
f '' < 0

–2
e

f '' > 0
–1

(

Hay un punto de inflexión en –1,

18

)

–2
.
e

s7 Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los
mínimos de las siguientes funciones:
x2 + 1
x3
8 – 3x
a) y =b) y = 2
c) y = 2
x (x – 2)
x –1
x –1
x2 – 1
x

d) y =

2x 2 – 3x
2–x

a) y =

8 – 3x
= 8 – 3x . Dominio =
x (x – 2)
x 2 –2x

e) y =

8
x 2 (x – 3)

f) y =

Á – {0, 2}

2
2
2
f ' (x) = –3(x – 2x) – (8 – 3x) · (2x – 2) = –3x + 6x – 16x + 16 + 6x – 6x =
(x 2 – 2x)2
(x 2 – 2x)2
2
= –3x – 16x + 16
(x 2 – 2x)2

f ' (x) = 0 8 3x 2 – 16x + 16 = 0 8 x =

=

16 ±√ 256 – 192
16 ± √ 64
=
=
6
6

x=4
x = 4/3

16 ± 8
6

Signo de la derivada:
f' > 0

f' > 0

f' < 0

0

f' < 0

4
—
3

2

f' > 0
4

( )

La función: es creciente en (–@, 0) « 0,
es decreciente en

( )
( )
( )

4
, 2 « (2, 4).
3

tiene un máximo en

4
9
,– .
3
2

tiene un mínimo en 4, –
2
b) y = x + 1 . Dominio =
x2 – 1

4
« (4, +@).
3

1.
2

Á – {–1, 1}

2
2
3
3
–4x
f ' (x) = 2x (x – 1) – (x + 1) · 2x = 2x – 2x – 2x – 2x =
2 – 1)2
2 – 1)2
2 – 1)2
(x
(x
(x

f ' (x) = 0 8 –4x = 0 8 x = 0
Signo de la derivada:
f' > 0

f' > 0
–1

f' < 0

f' < 0
0

1

19

La función: es creciente en (–@, –1) « (–1, 0).
es decreciente en (0, 1) « (1, +@).
tiene un máximo en (0, –1).
c) y =

x 3 . Dominio =...