Taller De Ecuaciones

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

SANDRA LUZ LORA CASTRO

POR:
CARLOS CESAR PAEZ VERDOOREN

INGENIERIA CIVIL

GRUPO:DD7

UNIVERSIDAD DE LA COSTA (CUC)24/02/13

BARRANQUILLA ATLANTICO

COMPRUEBE QUE LA RELACIÓN ES UNA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DADA:

1. lny=ex+2e-x ⟹ yd2ydx2-dydx2=y2lny

Solución.
Primero despejamosa y para obtener dydx , entonces:

lny=ex+2e-x ⟹ y=eex+2e-x
⟹ dydx=eex+2e-x∙ex-2e-x

Ahora derivamos nuevamente para obtener d2ydx2 ,entonces:

d2ydx2=ddxeex+2e-x∙ex-2e-x
=eex+2e-x∙ddxex-2e-x+ex-2e-x∙ddxeex+2e-x
=eex+2e-x∙ex+2e-x+ex-2e-x∙eex+2e-x∙ex-2e-x
=eex+2e-x∙ex+2e-x+eex+2e-x∙ex-2e-x2

Finalmente:yd2ydx2-dydx2
=eex+2e-xeex+2e-x∙ex+2e-x+eex+2e-x∙ex-2e-x2-eex+2e-x∙ex-2e-x2

=e2ex+2e-x∙ex+2e-x+e2ex+2e-x∙ex-2e-x2-e2ex+2e-x∙ex-2e-x2

=e2ex+2e-x∙ex+2e-x

=eex+2e-x2∙ex+2e-x

=y2∙lny2. dxdt=x-11-2x ⟹ ln2x-1x-1=t

Solución.
Primero reescribimos la ecuación utilizando las propiedades de los logaritmos:

ln2x-1x-1=t ⟹ ln2x-1-lnx-1=t

Ahora derivamosimplícitamente para obtener dxdt :

ddtln2x-1-ddtlnx-1=ddtt

⟹ 12x-1∙2dxdt-1x-1∙1dxdt=1

⟹ 22x-1dxdt-1x-1dxdt=1

⟹ 22x-1-1x-1dxdt=1

⟹ 2x-2-2x+12x-1x-1dxdt=1

⟹-12x-1x-1dxdt=1

⟹ -dxdt=2x-1x-1

⟹ dxdt=-2x-1x-1

⟹ dxdt=-2x+1x-1=1-2xx-1

3. P'=P1-P ⟹ P=c1et1+c1et

Solución.
Lo que tenemos que hacer es hallarla derivada de P, es decir P', teniendo en cuenta que c1 es una constante, entonces:

P=c1et1+c1et ⟹ P'=ddtc1et1+c1etP'=1+c1et∙ddtc1et-c1et∙ddt1+c1et1+c1et2

P'=1+c1et∙c1et-c1et∙c1et1+c1et2

P'=c1et∙1+c1et-c1et1+c1et1+c1et...