TALLER DE EJERCICIOS 3er EXAMEN VARIABLE COMPLEJA 2015

TALLER DE EJERCICIOS PARA 3er. EXAMEN DE VARIABLE COMPLEJA


Derivada de Funciones Complejas

1.- Demostrar que la siguiente función es armónica, obtener su armónica conjugada para hallar lafunción analítica correspondiente f(z)= u(x,y) + i v(x,y), escribir f(z) en términos de la variable z e indicar el dominio donde existe la derivada.

a) u = ex Cos y
b) v = ey Cos x
c) u = x2 - y2
d)v = -Sen x Senh y
e) v= 6x2y2 - x4- y4 + y – x + 1
f) u = x4 – 6 x2 y2 + y4
g)
h)
i)
j)

2.- Sea f(z) = x2 – y2 – 2xy – i (-x2 + y2 – 2xy)

a) ¿Es armónica la función Im(f (z))?
b) Existe f‘(z) en algún dominio.

3.- Encontrar las singularidades de las siguientes funciones:
a)

b)

c)

d)

4.- Hallar el valor principal de:
a) i i
b) ( 1 - i ) 4i
c)

5.- Expresar el siguiente enla forma a + ib

a)(1 - i)2 - 3i
b) 2 i

Cálculo Integral

6.- Evalúe las siguientes integrales de línea en el contorno indicado.

a)
b)
c)
d)

7.- Evaluar la siguiente integral:
a)b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)


Series de Potencias

8.- Encontrar la serie de Maclaurin de la siguiente función:

a)f (z) = eZ
b)f (z) = cosh z
c)

9.- Encontrar la serie de Taylor de lasiguiente función:

a) f (z) = cos z alrededor del punto z0 = π.
b) f (z) = ez alrededor del punto z0 =
c)


10.- Obtener el desarrollo de la serie deLaurent para la siguiente función:



en torno al anillo:
11.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:



en torno al anillo:

12.- Obtenerel desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:


en torno al anillo:
13.- Sea

Hallar la serie de Laurent de la función alrededor de |z| = 3


14.- SeaObtener la serie de Laurent de la función en el anillo 0 < | z | <3


15.- Desarrollar


en una expansión en serie de Laurent válida para la región 0...