taller de estadistica 11 IV

Distribución Binomial
La distribución binomial es unas de las distribuciones de probabilidad discreta más importantes. Recordemos que en una distribución de probabilidad discreta, la variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio muestral del experimento. La distribución binomial tiene que ver con una clase especial de experimento llamado experimento binomial.Experimento Binomial
Un experimento que tiene exactamente dos posibles resultados o dos categorías de resultados conocidos como "éxito" o "fracaso".
Ejemplos 1. Experimento: Lanzar una moneda.
El experimento tiene solamente dos resultados (H, T), por lo tanto es un experimento binomial.
2. Experimento: Probando una nueva droga contra una enfermedad.
La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) laenfermedad. Por lo tanto es un experimento binomial.
3. Experimento: Un jugador gana si obtiene un número mayor que 4 y pierde si obtiene cualquier otro número en el lanzamiento de un dado.
Los resultados del experimento (lanzar un dado) se puede poner en una de dos categorías:
5, 6 1, 2, 3, 4

Los resultados en la primera categoría se definen como "éxito" y los resultados enla segunda categoría se definen como "fracaso".
.Distribución Binomial
La probabilidad de obtener x número de éxitos en n intentos independientes de un experimento binomial está dado por: para x = 0, 1, 2, … , n , donde p es la probabilidad de éxito en cada intento.

Ejemplo 1: Si una moneda se lanza 15 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente 10 caras.
Solución: El lanzar unamoneda es un experimento binomial. Dado que nos interesa contar el número de caras, así reclamamos como éxito cuando salen éstas. Dejemos que el número de éxitos sea la variable aleatoria (x). Substituyendo
n = número de intentos = 15,
x = número de éxitos = 10, y
p = probabilidad de éxito (cara) en cada intento
= , obtenemos


ó aproximadamente un 9,16% de oportunidad.Ejemplo 2: Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce de cada 1000 piezas 7 defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
n = 50
x = 1
p = 7/1000 = 0,007
1 – p = 1 – 0,007 = 0,993
(0,007)1(0,993)50 – 1 = 0,248 ≈ 24,8%

Ejemplo 3: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores yala han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
p = 80/100 = 0.8 1 – p = 0.2

La probabilidad de que la novela la hayan leído dos personas es del 15,36%

2. ¿Y cómo máximo 2?

Máximo 2 significa que puede ser 0, 1 ó 2 por tanto es necesario hallar la probabilidad de cada una deellas.


Es decir que la probabilidad de que máximo 2 hayan leído la novela es del 18,08%

Ejemplo 4: La probabilidad de que un equipo funcione es de 0.9. Si se prueban 16 equipos, la probabilidad de que al menos14 funcionen es:
El equipo funciona o no funciona, esto indica un experimento de tipo binomial. Al menos 14 significa que deben funcionar, 14, 15 y 16, por lo que la probabilidad es:EJERCICIOS PARA RESOLVER

1. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a. Las cinco personas.
b. Al menos tres personas.
c. Exactamente dos personas.
2. Laprobabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
3. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5...