TALLER DE MATEMATICA FINAL
Páginas: 11 (2615 palabras)
Publicado: 18 de mayo de 2015
La Regla de L’Hôpital
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debeJohann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo (0/0).
La regla de L'Hospital se utiliza para facilitar el cálculo de límites la cual dice que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si las funciones tienden a cero cuando xtiende a c entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x).
En otras palabras Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entoncesexiste el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo ε-δ más delicados.
Como g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c, se tiene que g(x)≠0 si x≠c como consecuencia del Teorema de Rolle.
Dado que f(c)=g(c)=0,aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos x y c, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:
Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende hacia c, así que:
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan dereemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
En lasección IX, §163 del Análisis de los infinitamente pequeños, se propone el siguiente problema (L’Hôpital, 1998: 259): Sea AMD una línea curva ( AP = x, PM = y, AB = a) tal que el valor de la ordenada y esté expresado por una fracción, en la cual el numerador y el denominador se vuelvan cada uno cero cuando x = a; es decir, cuando el punto P caiga sobre el punto dado B, como se muestra en la figura 1.Se pregunta: ¿cuál debe ser entonces el valor de la ordenada BD? La solución a este problema es lo que se conoce como la regla de L’Hôpital, que en términos prácticos podríamos leer de la siguiente manera:
Para hallar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abscisa dado x toma la forma 0/ 0, se determina el cociente de las diferencias del numeradory del denominador, para este valor de la abscisa (Solaeche, 1993: 101).
En la actualidad la regla de L’Hôpital se enuncia del modo siguiente (Spivak, 1992: 282): Supongamos que f y g son funciones derivables tales que:
Supongamos también que existe . Entonces existe
El símbolo , léase como límite cuando x tiende a a. Aplicando una formaalterna de la definición de derivada, para el caso especial en que f (a)=g (a)=0, f y g son funciones continuas y g(a) 0, la siguiente justificación da una idea del por qué la regla es cierta:
Esta justificación no es del todo correcta, pues para ello el denominador del término central de estas igualdades debe ser no cero para todo x distinto de a. Para una demostración más...
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debeJohann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo (0/0).
La regla de L'Hospital se utiliza para facilitar el cálculo de límites la cual dice que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si las funciones tienden a cero cuando xtiende a c entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x).
En otras palabras Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entoncesexiste el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo ε-δ más delicados.
Como g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c, se tiene que g(x)≠0 si x≠c como consecuencia del Teorema de Rolle.
Dado que f(c)=g(c)=0,aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos x y c, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:
Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende hacia c, así que:
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan dereemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
En lasección IX, §163 del Análisis de los infinitamente pequeños, se propone el siguiente problema (L’Hôpital, 1998: 259): Sea AMD una línea curva ( AP = x, PM = y, AB = a) tal que el valor de la ordenada y esté expresado por una fracción, en la cual el numerador y el denominador se vuelvan cada uno cero cuando x = a; es decir, cuando el punto P caiga sobre el punto dado B, como se muestra en la figura 1.Se pregunta: ¿cuál debe ser entonces el valor de la ordenada BD? La solución a este problema es lo que se conoce como la regla de L’Hôpital, que en términos prácticos podríamos leer de la siguiente manera:
Para hallar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abscisa dado x toma la forma 0/ 0, se determina el cociente de las diferencias del numeradory del denominador, para este valor de la abscisa (Solaeche, 1993: 101).
En la actualidad la regla de L’Hôpital se enuncia del modo siguiente (Spivak, 1992: 282): Supongamos que f y g son funciones derivables tales que:
Supongamos también que existe . Entonces existe
El símbolo , léase como límite cuando x tiende a a. Aplicando una formaalterna de la definición de derivada, para el caso especial en que f (a)=g (a)=0, f y g son funciones continuas y g(a) 0, la siguiente justificación da una idea del por qué la regla es cierta:
Esta justificación no es del todo correcta, pues para ello el denominador del término central de estas igualdades debe ser no cero para todo x distinto de a. Para una demostración más...
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