Taller de metodos numericos

MÉTODOS NUMÉRICOS

Iván F. Asmar Ch.

TALLER Nº 1 Problema 1. Suponga que se desea calcular ln 2 a partir de las serie de Maclaurin para la función

f ( x ) = ln (x + 1) . Determine el menor número de términos que deben tomarse en dicha serie para −8 obtener una aproximación de ln 2 con un error menor que 10 . Haga lo mismo para ln (1.5) y ln (1.1) ,

y analice los resultados. Solución:Empezamos encontrando la serie de Maclaurin para la función f (x ) = ln (x + 1) . Recuerde que la serie de Maclaurin es la serie de Taylor cuando se toma como centro del desarrollo el número 0. Así que tal serie de Maclaurin es

f (x ) = ln (x + 1) = f (x ) = ln (x + 1) ,

∑
k =0

∞

f (k ) (0 )

xk k! f ′(x ) = 1 , f ′(0 ) = 1 ; x +1 f (iv ) (0) = −3 ! ,

Como

entonces

f (0) =ln (0 + 1) = ln 1 = 0 ,

f ′′(x ) = −
... , f Luego
(k )

(x ) = (− 1)k −1 (k − 1)! , (x + 1)k
f (x ) = ln(x + 1) = ∑ f
k =0 ∞

(x + 1)

1

2

, f ′ (0 ) = −1 ; f ′′(x ) =

(x + 1)
k −1

2

3

, f ′′(0) = 2 ; f (iv ) (x ) = −

(2 )(3) , (x + 1)4

f (k ) (0) = (− 1)

(k − 1)!
k −1

(k )
2

(0 ) x

k

k!
3

= ∑ (− 1)
k =1

∞

(k − 1)! x
n

k

k!= ∑ (− 1)
k =1

∞

k −1

xk , x ∈ (− 1,1] k!

x n +1 x x n −1 x = x− + − ... + (− 1) + f (n +1) (ξ ) 2! 4 2 n 14443!4 44444! 144 (n 4 )! 3 24+ 1 3
pn ( x ) Rn ( x ;0 )

siendo ξ algún número entre 0 y x. Pero f
( n + 1)

(ξ ) = (− 1)n

(ξ + 1)n +1

n!

, así que

R n (x ;0 ) = (− 1)
con ξ algún número entre 0 y x. CASOS PARTICULARES:

n

n!

(ξ + 1)n +1

1 x n +1x n +1 n = (− 1) (n + 1)! (ξ + 1)n +1 n + 1

a) Si x = 1 , entonces ln 2 = ln(1 + 1) = con ξ algún número entre 0 y 1.

∑
k =1

∞

(− 1)k −1 = 1 − 1 + 1 − .... + (− 1)n −1 + (− 1)n
k 2 34 n3 1444 24444
p n (1)

1 1 n +1 (ξ 24 n + 1 144 + 1) 44 4 3
Rn (1; 0)

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

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ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD

Nos piden encontrar el menorvalor de n tal que R n (1; 0) = (− 1)n siendo ξ algún número entre 0 y 1. Empezamos independizando el residuo ( o error) R n (1;0 ) de ξ , como sigue: 1 1 < 10−8 n+1 n + 1 (ξ + 1)

Rn (1 ; 0 ) = (− 1)n

1 1 1 , cualquiera sea ξ ∈ (0,1) < n +1 (ξ + 1) n + 1 n + 1

Ahora sí resolvemos para n, la desigualdad

1 < 10 −8 . La solución de esta desigualdad es n +1 8 n > 10 − 1 . Así que el menornúmero de términos que hay que sumar para aproximar ln 2 con la 8 precisión pedida es, de acuerdo con esta teoría, N = 10 . No intente calcular esta suma!
En este caso

b) El caso ln (1.5) se deja como ejercicio. Veamos el caso de aproximar ln (1.1) .

x = 0.1 , y se tiene que:

 1   k ∞ ∞ k −1 (0.1) k − 1  10  = ∑ (− 1) ln(1.1) = ln(0.11) = ∑ (− 1) = k k k =1 k =1 1    10  n +1n +1

k

∑ (− 1)
k =1

∞

k −1

1 = pn (0.1) + Rn (0.1;0) k10 k

Esta vez

R n (0.1;0) = (− 1)n

(ξ + 1)

1

n +1

= (− 1)n

(ξ + 1)

1

` n +1

1 , con ξ algún (n + 1)10 n +1

número entre 0 y 0.1 . Como queremos que el error sea menor que 10 , basta encontrar n tal que que
−8

1 < 10 −8 , ya n + 1)10 n +1 (

R n (0.1;0 ) = (− 1)
Puesto que

n

(ξ + 1)1

n +1

1 1 < , cualquiera sea ξ ∈ (0 ,0.1) . n +1 (n + 1)10 (n + 1)10 n +1

1 −8 ⇔ (n + 1)10 n +1 > 108 ⇔ n + 1 ≥ 8 ⇔ n ≥ 7 n +1 < 10 (n + 1)10
entonces

ln (1.1) ≈ p 7 (0.1) = ∑ (− 1)
k =1

7

k −1

1 10007569 = ≈ 0.09531018095 k 105000000 k10

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MÉTODOS NUMÉRICOS

Iván F. Asmar Ch.

La instrucción en DERIVE paracalcular la suma

  (− 1)k −1 1 es SUM  , k ,1, 7  , la k k   k10 k10 k =1   cual aproXima en 0.09531018095 , trabajando con precisión 10 dígitos (Options-Precision: 10).

∑ (− 1)k −1

7

Observe que ln(1.1) − 0.09531018095 = 1.14... × 10 −9 < 5 × 10 −9 < 10 −8 , como era de esperarse. Tiene otra forma mejor para calcular ln2 ? Observe la instrucción en DERIVE: TAYLOR (ln(x + 1),...