taller de varias variables

1. Para cada una de las siguientes superficies cu´
adricas, considere las trazas con los tres
planos coordenados Πxy , Πxz , Πyz y secciones transversales paralelas ´estos u
´ltimos, para
obtener sus gr´aficos. Adem´as, escriba cada una de ellas en coordenadas cil´ındricas
y esf´
ericas:
x2 y 2 z 2
− 2 − 2 = 1.
a2
b
c
2
2
y
x
b) z = 2 + 2 .
a
b

y 2 x2
− 2.
b2
a
2
2
yz2
x
d ) 2 + 2 − 2 = 0.
a
b
c

a)

c) z =

2. Para cada una de las siguientes funciones, describa las curvas (superficies) de nivel:
a)

 x + y , (x, y) = (0, 0)
f (x) =
x2 + y 2

0, (x, y) = (0, 0)

anterior y concluya que el gr´afico de
z = g(x, y), Gr(g), es un paraboloide hiperb´olico, con los ejes rotados un
a´ngulo α = π4 .
e) w = f (x, y, z) = x2 − y 2 + z 2 .b)

2 +y 2 +z 2

f ) w = h(x, y, z) = ex

 x + y , (x, y) = (0, 0)
f (x) =
x2 − y 2

0, (x, y) = (0, 0)

.

g) f (x, y, z) = 100x2 + 16y 2 + 25z 2 .
h) f (x, y, z)) = 16x2 + 16y 2 − 9z 2 .
i ) f (x, y, z) = 9x2 − 4y 2 − z 2 .

2

2

c) z = f (x, y) = y − x .

j ) f (x, y, z) = 4x2 − 9y 2 .

d ) z = g(x, y) = xy. Compare las curvas de nivel con las de z = f (x, y)

k) f (x, y, z) =

x2 + y 2
.
z

3. Describa geom´etricamente el dominio de cada una de las siguientes funciones f , D(f ):
a) f (x, y, z) =
0.

x 2 + y 2 + z 2 − a2 , a >

b) f (x, y, z) =
0.

x 2 + y 2 − z 2 − a2 , a >

c) f (x, y, z) =

144 − 16x2 − y 2 − 144z 2 .

i ) f (x, y) = ln(x − y 2 ).
√
√
j ) f (x, y) = x + y − x.
k ) f (x, y) =

x
− 1.
y

√
(144 − 16x2 −16y 2 + 9z 2 )3/2 l ) f (x, y) = xy.
d ) f (x, y, z) =
.
xyz
m) f (x, y) = sin−1 (xy).
e) f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 ).
x4 + y 4
n) f (x, y) =
.
f ) f (x, y, z) = z ln(xy).
xy
g) f (x, y) = ln(x + 2 + y).
h) f (x, y) =

y−

x2 .

n
˜) f (x, y) =

x2 + y 2 − 1
.
y−x

In fifty years nobody will have tenure buy everyone will have a
Ph.D. – V. Wickerhauser
1

4.Describa el rango o recorrido, R(f ), de cada una las siguientes funciones:
√
a) f (x, y) = 2 + x − y.
d ) f (x, y) = ex−y .
b) f (x, y) =

e) 4 − x2 − y 2 .

9 − x2 − y 2 .

c) f (x, y) = cos(x2 + y 2 ).

a2 − x2 + y 2 , a > 0.

f ) f (x, y) =

5. Use los sistemas de coordenadas Cil´ındricas y Esf´
ericas para:

a) Cambiar las siguientes coordenadas cil´ındricas a coordenadascartesianas:
(i) P (4, 2π/3, 5).

(ii) P (1, π/2, 1).

(iii) P (−2, π/4, 2). (iv) P (4, 4π/3, −5).

b) Cambiar las siguientes coordenadas cil´ındricas a coordenadas esf´ericas:
(i) P (6, π/6, 5).

(ii) P (4, 4π/3, 1).

(iii) P (−2, π/4, 3). (iv) P (4, 4π/3, −4).

c) Cambiar las siguientes coordenadas cartesianas a cil´ındricas y esf´ericas:
√
√ √ √
√
(i) P (2, −2 3, 4). (ii) P (4 3,−4, 6). (iii) P (− 2, 2, 2 3).
(iv) P (2, 2, 3).
6. Bosqueje la gr´afica de la ecuaci´on cil´ındrica o esf´erica dada:
a) r = 5.

d ) θ = π/6.

g) ρ = 3 cos(φ).

b) ρ = 5.

e) r = 3 cos(θ).

h) ρ = sec(φ).

j ) r2 cos2 (θ)z 2 =
4.

c) φ = π/6.

f ) r = 2 sin(2θ).

i ) r2 + z 2 = 9.

k ) r2 cos(2θ) = z.

7. Para cada una de las siguientes expresiones, realice el cambiopedido:
a)
b)
c)
d)

r2 + 2z 2 = 4, a esf´ericas.
ρ = 2 cos(φ), a cil´ındricas.
x + y = 4, a cil´ındricas.
x + y + z = 1, a esf´ericas.

e) r = 2 sin(θ), a cartesianas.
f ) r2 cos(2θ) = z, a cartesianas.
g) ρ sin(φ) = 1, a cartesinas.

8. Para cada uno de los siguientes, determine el l´ımite indicado o justifique por qu´e no
existe:
d)

a)
2

xy − y 3
(x,y)→(−1,2) (x + y + 1)23

(3x y − xy )

l´ım

l´ım

(x,y)→(1,3)

b)
l´ım

(xy 3 − xy + y 3 )

e)
xy + cos(x)
(x,y)→(0,0) xy − cos(y)

(x,y)→(−2,1)

l´ım

c)
x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
l´ım
(x,y)→(1,2)
y − 2x2

f)
tan(x2 + y 2 )
l´ım
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2

g)

i)
x2 + y 2
l´ım
(x,y)→(0,0) x4 − y 4

h)

x7/3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´ım

xy

l´ım
(x,y)→(0,0)

x2 + y 2...