taller derivadas parciales

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
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CALCULO VECTORIAL
DERIVADAS PARCIALES
Objetivos
Hallar y utilizar las derivadas parciales de una funci´n de dos o tres variables.
o
Hallar derivadasparciales de orden superior de una funci´n de dos o tres variables.
o
Utilizar las derivadas parciales para resolver problemas aplicados a distintos campos de la ingenier´
ıa.

TALLER 3
1. Si f (x,y) = 16 − 4x2 − y 2 , encuentre fx (1, 2) y fy (1, 2) e interprete estos n´meros como pendientes. Ilustre con
u
dibujos a mano o de computdora.
2. Encuentre las primeras derivadas parciales de lafuncion.
a) f (u, v) = arctan

u
v

b) f (x, t) = esin( x )
t

c) f (x, y) =

y
x

cos t2 dt

y

d) u = xz
3.

a) Utilice la definicion de derivadas parciales como limites parahallar fx (x, y)yfy (x, y) para la funci´n f (x, y) =
o
√
3x − y
b) Utilice la derivaci´n implicita para hallar
o

∂z
∂x

y

4. Halle todas las segundas derivadas parciales de z =
5.∂z
∂y

para xyz = cos(x + y + z).

x
(x+y)

a) Verifique que se cumpla el terorema de Clairaut, es decir uxy = uyx para u = xyey .
b) Halle la derivada parcial fyzy para f (x, y, z) = exyz

6.Determine si cada una de las siguientes funciones es una soluci´n de la ecuaci´n de Laplace uxx + uyy = 0
o
o
a) u = x3 + 3xy 2
b) u = sin x cosh y + cos x sinh y
c) u = e−x cos y − e−y cos x7. Demuestre que cada una de las siguientes funciones es una soluci´n de la ecuaci´n de onda utt = a2 uxx
o
o
a) u = sin(kx) sin(akt)
b) u =

t
(a2 t2 −x2 )

c) u = sin(x − at) + ln(x + at)8. Demuestre que la funci´n de producci´n de Cobb-Douglas P = bLα K β satisface la ecuacion
o
o
L

∂P
∂P
+K
= (α + β)P
∂L
∂K

9. Si a, b y c son los lados de un tri´ngulo y A, B y C sonlos ´ngulos opuestos, encuentre
a
a
implicita de la ley de los cosenos.

∂A ∂A ∂A
∂a , ∂b , ∂c

por derivacion

10. En un estudio de penetraci´n de hielo en el suelo se encontr´ que la...