taller determinantes
TALLER II DETERMINANTES
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´ticas
a
Marzo de 2013
1. Considere las siguientes matrices:
30
0
−2 7 6
A = 2 −5 1
B = 5 1 −2
1 9 −4
384
1 −2 3
1
(
)
5 −9 6
3
21
D=
E=
−1 2 −6 −2
−1 3
2
8
6
0
Calcular:
a. det(At B 2 )
e. det(C − 3I2 )
2. Encontrar x ∈ R quesatisfaga:
10
−3
x
−1
2x
−6
a.
=
3 1−x
1 3 x−5
c.
1
1
1
x
3 x+2
3 2x + 1
1
1
x2
x3
2x + 1 3x
x2 + 2x 3x2
10
A= 2 0
00
con
C=
F =
c. det(E )
d.det(F −3 )
−1
e. det(C DC )
b. det(C + 2D)
d. det(adj (A))
b. det(A − xI ) = 0 ,
(
−1
1
−1
=0
3. Determinar si la proposic´n es verdadera o falsa (JUSTIFICAR)
o
A, B ∈Mn×n .
a. det(AAt ) = det(A2 )
b. Si A es antisim´trica, entonces det(A) = 0
e
c. Si A es ortogonal, entonces det(A) = 1
d. Si det(A) = 0 ,entonces A = 0
1
−5 6
12
1
3
−2 −7
0
0
0
0
00
)
15
0 −4
10
21
01
3
2
1
1
1
e. det(A + B ) = det(A) + det(B )
f. Si Ak = On×n para alg´n k entero positivo, entonces A es singular.
u
g. Si det(A) = −2,entonces el sistema AX = 0 tiene solamente la soluci´n
o
trivial.
h. Si A es idempotente, entonces det(A) = 0
i. Si B = P AP −1 y P es no singular, entonces det(A) = det(B )
j. Si A y B sonmatrices no singulares, entonces A + B es no singular.
k. det(AB ) = det(BA)
l. M y N son matrices 3 × 3 tales que det(2M −1 N ) = 12 y det(N ) = 3,
1
entonces det(M ) = 2
ab
m. x y
st
n. Si
ap
x
yb
c
z=x a
zc
u
b
q
y
c
r
z
t
s
u
= 6, entonces
a+x b+y
3x
3y
−p
−q
c+z
3z
−r
= −18
4. Completar:
αx + y + z = 1
a. El sistema: x + αy + z = 1
x + y + αz = 1
Tiene unica soluci´n si α ∈ {
´
o
b. Si det(A) = 3 y AB = O, entonces B =
5
2cc
c. A = c c c es singular si c=
876
abc
4u 2a −p
d. Si p q r = 3,...
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