taller ecs diferenciales

Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´ Escuela de Matem´ticas
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a
Ecuaciones Diferenciales, Semestre 01-2013, Recopilaci´n de Ejercicios 3
o
Preparaci´n Para el Tercer Examen Parcial
o1. Encuentre la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones.
(a) t.

(c) tn , donde n es un entero positivo.

(b) t2 .

(d) cos(at), donde a es una constante real.

2.Encuentre la transformada inversa de Laplace de la funci´n dada.
o
(a)

3
.
s2 + 4

3s
.
s2 − s − 6
4s + 4
.
(e) 2
s + 2s + 10
2s − 3
(f) 2
.
s −4

(b) 4(s − 1)3 .
(c)

2s + 1
.s2 − 2s + 2
8s2 − 4s + 12
(h)
.
s(s2 + 4)
1 − 2s
(i) 2
.
s + 4s + 5

(d)

2
.
s2 + 3s − 4

(g)

(j)

2s − 3
.
s2 + 2s + 10

3. Utilice la transformada de Laplace pararesolver el problema con valor inicial dado.
(a) y − y − 6y = 0; y(0) = 1, y (0) = −1.

(f) y + 2y + 5y = 0; y(0) = 2, y (0) = −1.

(b) y + 3y + 2y = 0; y(0) = 1, y (0) = 0.

(g) y + w2 y = cos(2t),w2 = 4; y(0) = 1, y (0) = 0.

(c) y − 2y + 2y = 0; y(0) = 0, y (0) = 1.

(h) y − 2y + 2y cos t; y(0) = 1, y (0) = 0.

(d) y − 4y + 4y = 0; y(0) = 1, y (0) = 1.

(i) y − 2y + 2y = e−t ; y(0) =0, y (0) = 1.

(e) y − 2y + 4y = 0; y(0) = 2, y (0) = 0.

(j) y + 2y + y = 4e−t ; y(0) = 2, y (0) = −1.

(k) y (4) − 4y + 6y − 4y + y = 0; y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1.
(l) y (4) −y = 0; y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0.
(m) y (4) − 4y = 0; y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = −2, y (0) = 0.
4. Trace la gr´fica de la funci´n dada en el intervalo t ≥ 0.
a
o
(a) u1 (t) + 2u3(t) − 6u4 (t).

(d) f (t − 3)u3 (t), dondef (t) = sen t.

(b) (t − 4)u3 (t) − (t − 3)u4 (t).
(c) f (t − π)uπ (t), donde f (t) =

(e) f (t − 1)u2 (t), donde f (t) = 2t.
t2 .

(f) (t − 1)u1(t) − 2(t − 2)u2 (t) + (t − 3)u3 (t).

5. Encuentre la transformada de Laplace de la funci´n dada.
o
(a) f (t) =

1 si 0 ≤ t < 1,
0 si t ≥ 1.


 1


0
(b) f (t) =
 1


0
(c)...